《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 如图 1-2-14，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别为 $OB$，$OD$ 的中点，延长 $AE$ 至点 $G$，使 $AE = GE$，连接 $CG$，$CF$。
(1)求证：$\triangle AOE\cong\triangle COF$；
(2)只需添加一个条件，即AC=2AB，可使四边形 $CGEF$ 为矩形，请加以证明。

答案： 2.
(1)证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 OB=OD，OA=OC.
因为点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，
所以 EO=$\frac{1}{2}$OB，FO=$\frac{1}{2}$OD，所以 OE=OF.
在△AOE 和△COF 中，$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \\ OE=OF, \end{cases}$
所以△AOE≌△COF(SAS).
(2)解：添加 AC=2AB，可使四边形 CGEF 为矩形.证明如下：
由
(1)得∠AEO=∠CFO，所以 AE//CF.
因为 EA=EG，OA=OC，
所以 EO 是△AGC 的中位线，
所以 EO//GC，
所以四边形 CGEF 是平行四边形.
因为 AC=2AB，AC=2AO，所以 AB=AO.
因为 E 是 OB 的中点，所以 AE⊥OB，
所以∠OEG=90°，
所以平行四边形 CGEF 是矩形.

3. 如图 1-2-15，在 $\triangle ABC$ 中，点 $O$ 是边 $AC$ 上一个动点，过点 $O$ 作直线 $EF// BC$ 分别交 $\angle ACB$ 和 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle ACD$ 的平分线于点 $E$，$F$。
(1)若 $CE = 4$，$CF = 3$，求 $OC$ 的长。
(2)连接 $AE$，$AF$，问当点 $O$ 在边 $AC$ 上运动到什么位置时，四边形 $AECF$ 是矩形？请说明理由。

答案： 3. 解：
(1)因为 EF 交∠ACB 的平分线于点 E，交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点 F，
所以∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF.
因为 EF//BC，
所以∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
所以∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
所以 OE=OC，OF=OC，所以 OE=OF.
因为∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
所以∠ECF=90°.
在 Rt△CEF 中，
由勾股定理得 EF=$\sqrt{CE^2+CF^2}$=5，
所以 OC=OE=$\frac{1}{2}$EF=2.5.
(2)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形.理由如下：
当 O 为 AC 的中点时，AO=CO.
因为 EO=FO，
所以四边形 AECF 是平行四边形.
因为∠ECF=90°，
所以平行四边形 AECF 是矩形.

1. 有下列四个条件：①四边形的对角线互相平分；②四边形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线相等；④平行四边形的一个角是直角. 其中能作为矩形的判定条件的是(B).

A.①②
B.③④
C.①③
D.②④

答案： B