《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

3. 下列说法不正确的是(A).

A.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.一条对角线平分一组对角的矩形是正方形

答案： A

4. 矩形各角的平分线围成的四边形是正方形.

答案： 正方形

5. 如图1-3-9，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，$∠BAE = ∠BCE$，$∠AED = ∠CED$.求证：四边形ABCD是正方形.
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答案： 证明：因为∠CED 是△BCE 的外角，
∠AED 是△ABE 的外角，
所以∠CED=∠CBE+∠BCE，
∠AED=∠BAE+∠ABE.
因为∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
所以∠CBE=∠ABE.
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
所以∠CBE=∠ABE=45°，
所以△ABD 与△BCD 是等腰直角三角形，
所以 AB=AD=BC=CD，
所以矩形 ABCD 是正方形.

6. 已知：如图1-3-10，点D是$\triangle ABC$中BC边的中点，$DE⊥AC$，$DF⊥AB$，垂足分别是点E，F，且$BF = CE$.
(1)求证：$Rt\triangle BDF≌Rt\triangle CDE$.
(2)问：$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由.
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答案：
(1)证明：因为 DE⊥AC，DF⊥AB，
所以∠BFD=∠CED=90°.
因为点 D 是△ABC 中 BC 边的中点，
所以 BD=CD.
在 Rt△BDF 和 Rt△CDE 中，BD=CD，BF=CE，
所以 Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).
（2）解：当△ABC 满足∠A=90°时，四边形 AEDF 是正方形(答案不唯一). 理由如下：
因为∠BFD=∠CED=90°，∠A=90°，
所以四边形 AEDF 是矩形.
因为 Rt△BDF≌Rt△CDE，
所以 DE=DF，所以矩形 AEDF 是正方形.

1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件.下面给出了五组条件：①$AB = AD$，且$AC = BD$；②$AB⊥AD$，且$AC⊥BD$；③$AB⊥AD$，且$AB = AD$；④$AB = BD$，且$AB⊥BD$；⑤$OB = OC$，且$OB⊥OC$.其中正确的有①②③⑤.(填序号)

答案： ①②③⑤