《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 如图 1 - 2 - 4，在矩形 $ABCD$ 中，$BE\perp AC$，$DF\perp AC$，垂足分别为 $E$，$F$，连接 $DE$，$BF$.
(1)求证：$BE = DF$；
(2)判断四边形 $BEDF$ 的形状，并说明理由.

答案：
(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AB//CD，AB=CD，
所以∠BAE=∠DCF.
因为BE⊥AC，DF⊥AC，
所以∠BEA=∠DFC=90°，
所以△ABE≌△CDF(AAS)，
所以BE=DF.
(2)解：四边形BEDF是平行四边形.理由如下：
因为BE⊥AC，DF⊥AC，
所以BE//DF.
又因为BE=DF，
所以四边形BEDF是平行四边形.

1. 如图 1 - 2 - 5，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$AB = 6$，$BC = 8$，过点 $O$ 作 $OE\perp AC$，交 $AD$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $EF\perp BD$，垂足为 $F$，则 $OE + EF$ 的值为$\frac{24}{5}$.

答案： $\frac{24}{5}$

2. 如图 1 - 2 - 6，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，经过点 $O$ 的任意一条直线分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$.
(1)求证：$OE = OF$.
(2)如图 1 - 2 - 7，如果点 $E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，$AB = 5$，$BC = 12$，在对角线 $AC$ 上是否存在点 $P$，使 $\angle EPF = 90^{\circ}$？如果存在，请求出 $AP$ 的长；如果不存在，请说明理由.

答案：

(1)证明：因为矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
所以AO=CO，AD//BC，
所以∠EAC=∠FCO.
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠FCO,\\ AO=CO,\\ ∠AOE=∠COF,\end{array}\right. $
所以△AOE≌△COF(ASA)，所以OE=OF.
(2)解：存在.
如答图1-2-1，由
(1)可知，OE=OF，AO=CO.

因为∠EPF=90°，
所以OP=$\frac{1}{2}$EF.
因为AE//BF，AE=BF，
所以四边形ABFE是平行四边形.
又因为∠B=90°，
所以四边形ABFE是矩形，
所以EF=AB=5，
所以OP=$\frac{1}{2}$EF=2.5.
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
所以AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=6.5，
所以AP'=AO-OP'=6.5-2.5=4，
AP''=AO+OP''=6.5+2.5=9，
所以AP的长为4或9.