《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

5. 图2-3-6是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现10是三角点阵中前4行的点数和。
(1)请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？
(2)这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n的值；如果不能，说明理由。

答案： 5.解:
(1)设三角点阵中前x行的点数和是276，依题意得$1 + 2 + 3 + \cdots + x = 276$，即$\frac {x(x + 1)}{2} = 276$，整理得$x^{2} + x - 552 = 0$，解得$x_{1} = 23$，$x_{2} = -24$(不合题意，舍去).故三角点阵中前23行的点数和是276.
(2)不能.理由如下:依题意得$1 + 2 + 3 + \cdots + n = 600$，即$\frac {n(n + 1)}{2} = 600$，整理得$n^{2} + n - 1200 = 0$，解得$n_{1} = \frac {-1 - \sqrt {4801}}{2}$，$n_{2} = \frac {-1 + \sqrt {4801}}{2}$.又因为n为正整数，所以$n_{1} = \frac {-1 - \sqrt {4801}}{2}$，$n_{2} = \frac {-1 + \sqrt {4801}}{2}$均不符合题意，所以这个三角点阵中前n行的点数和不能是600.

1. 如图2-3-7，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为x m。
(1)若矩形ABCD的面积为y m²，用含x的代数式表示y。
(2)当矩形ABCD的面积是75m²时，求它的边长。
(3)矩形ABCD的面积可能是120m²吗？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由。

答案： 1.解:
(1)已设$AB = x\ m$，则$BC = \frac {40}{2} - x = 20 - x(m)$.所以矩形的面积$y = x(20 - x) = -x^{2} + 20x$，即$y = -x^{2} + 20x$.
(2)当$y = 75$时，$-x^{2} + 20x = 75$.解方程，得$x_{1} = 5$，$x_{2} = 15$.所以矩形的边长分别为15m，5m，15m，5m.
(3)不可能.用方程或函数中的一种进行说明即可.用方程的知识进行说明:当$y = 120$时，有$-x^{2} + 20x = 120$，即$(x - 10)^{2} = -20$.因为$(x - 10)^{2} = -20$在实数范围内无解，所以长为40m的绳子围成的矩形的面积不可能为$120\ m^{2}$.用函数的知识进行说明:因为$y = -x^{2} + 20x = -(x - 10)^{2} + 100\leqslant 100$，所以面积的最大值为$100\ m^{2}$，不可能达到$120\ m^{2}$.所以长为40m的绳子围成的矩形的面积不可能为$120\ m^{2}$.