《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

3. 【知识回顾】我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理.
已知：如图 1 - 2 - 8，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$O$ 是 $AC$ 的中点.
求证：$OB = \frac{1}{2}AC$.
证明：
【灵活运用】如图 1 - 2 - 9，四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AC = AD$，$E$，$F$ 分别是 $AC$，$CD$ 的中点，连接 $BE$，$EF$，$BF$，求证：$\angle 1 = \angle 2$.

答案： 【新知应用】
证明：延长BO至点D，使OD=OB，连接AD，CD(图略)，
因为O是AC的中点，
所以OA=OC，
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为∠ABC=90°，
所以平行四边形ABCD是矩形，
所以AC=BD，
所以OB=$\frac{1}{2}$AC.
【灵活运用】
证明：因为∠ABC=90°，E是AC的中点，
所以BE=$\frac{1}{2}$AC.
因为E，F分别是AC，CD的中点，
所以EF是△ACD的中位线，
所以EF=$\frac{1}{2}$AD.
因为AC=AD，
所以BE=EF，
所以∠1=∠2.

1. 已知平行四边形 $ABCD$，下列条件不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)。

A.$\angle A=\angle B$
B.$\angle A=\angle C$
C.$AC=BD$
D.$AB\perp BC$

答案： B

2. 要判断一个四边形门框的形状是不是矩形，在下面四个方案中，正确的方案是(C)。

A.测量对角线是否互相平分且垂直
B.测量对角线是否互相平分
C.测量对角线是否互相平分且相等
D.测量对角线是否互相垂直

答案： C