《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $，$ E $ 分别是 $ AB $ 和 $ AC $ 上的点，$ AB = 12 $ cm，$ AE = 6 $ cm，$ EC = 5 $ cm，且 $ AD $，$ BD $，$ AE $，$ EC $ 成比例，求 $ AD $ 的长。

答案： 解：因为$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，即$\frac{AD}{AB-AD}=\frac{AE}{EC}$，
所以$\frac{AD}{12-AD}=\frac{6}{5}$，
所以$AD=\frac{72}{11}$cm.

1. 已知三条线段的长分别为 $ 1 $ cm，$ 2 $ cm，$ \sqrt{2} $ cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为$2\sqrt{2}$ cm或$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm或$\sqrt{2}$ cm。

答案： $2\sqrt{2}$ cm或$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm或$\sqrt{2}$ cm

2. 已知 $ \frac{a}{b} = \frac{3}{2} $，求下列算式的值。
(1) $ \frac{a + b}{b} $；
(2) $ \frac{2a + b}{3a - 2b} $。

答案：
(1)因为$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，
所以$\frac{a+b}{b}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}$.
(2)因为$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$，
所以设$a=3k(k≠0)$，则$b=2k$，
所以$\frac{2a+b}{3a-2b}=\frac{6k+2k}{9k-4k}=\frac{8k}{5k}=\frac{8}{5}$.

3. 如图 4 - 1 - 2，在平行四边形 $ ABCD $ 中，$ DE \perp AB $ 于点 $ E $，$ CF \perp AD $ 于点 $ F $。
(1) $ AB $，$ BC $，$ CF $，$ DE $ 这四条线段能否成比例？如果不能，请说明理由；如果能，请写出该比例。
(2) 若 $ AB = 10 $，$ DE = 2.5 $，$ CF = 5 $，求 $ BC $ 的长。

答案：
(1)能.因为在$□ ABCD$中，$DE\perp AB$，
$CF\perp AD$，
所以$S_{□ ABCD}=AB\cdot DE=AD\cdot CF$，
所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{CF}$.
又四边形$ABCD$为平行四边形，
所以$AD=BC$，所以$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{CF}$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{CF}{DE}$.
(2)因为$AB\cdot DE=BC\cdot CF$，
所以$10×2.5=5BC$，解得$BC=5$.