《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{1}{2}$，$AB$边上的中线$CD = 4\mathrm{cm}$，$\triangle ABC$的周长为$20\mathrm{cm}$，$\triangle A'B'C'$的面积是$64\mathrm{cm}^2$，求：
(1)$A'B'$边上的中线$C'D'$的长；
(2)$\triangle A'B'C'$的周长；
(3)$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)因为△ABC∽△A'B'C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，
AB 边上的中线 CD=4 cm，
所以$\frac{CD}{C'D'}=\frac{1}{2}$，
所以 C'D'=4×2=8(cm)，
所以 A'B'边上的中线 C'D'的长为 8 cm.
(2)因为△ABC∽△A'B'C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，
△ABC 的周长为 20 cm，
所以$\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=\frac{1}{2}$，
所以$C_{\triangle A'B'C'}=20×2=40(cm)$，
所以△A'B'C'的周长为 40 cm.
(3)因为△ABC∽△A'B'C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，
△A'B'C'的面积是 64 cm²，
所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
所以$S_{\triangle ABC}=64÷4=16(cm^2)$，
所以△ABC 的面积是 16 cm².

1. 制作一块$3\mathrm{m} × 2\mathrm{m}$矩形广告牌的成本是$120$元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的$3$倍，那么扩大后矩形广告牌的成本是1080元.

答案： 1080

2. 如图4-7-11，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$，垂足为点$D$，$E$是$AC$的中点，$ED$的延长线与$CB$的延长线交于点$F$.
(1)求证：$FD^2 = FB \cdot FC$；
(2)如果$BC:AC = 2:3$，$S_{\triangle FBD} = 2$，求$S_{\triangle FDC}$的值.

答案：
(1)证明：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，
所以∠A+∠ABC=∠DCB+∠ABC，
所以∠A=∠DCB.
因为△ACD 为直角三角形，E 是 AC 的中点，
所以 ED=EA，所以∠A=∠EDA.
而∠BDF=∠EDA，
所以∠A=∠BDF，
所以∠DCB=∠BDF.
而∠F=∠F，
所以△BDF∽△DCF，
所以 FD:FC=FB:FD，
所以$FD^2=FB·FC$.
(2)解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，
所以∠BDC=∠ACB.
由
(1)知∠A=∠DCB，
所以△BDC∽△BCA，
所以 BD:CD=BC:AC=2:3.
由
(1)知△BDF∽△DCF，
所以$\frac{S_{\triangle FBD}}{S_{\triangle FDC}}=(\frac{BD}{CD})^2=\frac{4}{9}$. 而$S_{\triangle FBD}=2$，
所以$S_{\triangle FDC}=4.5$.

3. 如图4-7-12，在$\triangle ABC$中，$BA = BC = 20\mathrm{cm}$，$AC = 30\mathrm{cm}$，点$P$从点$A$出发沿$AB$边以$4\mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动，同时点$Q$从点$C$出发沿$CA$边以$3\mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动，其中一个动点到达端点时停止运动，另一个也相应停止运动，设运动时间为$x\mathrm{s}$.
(1)当$x = \frac{10}{3}$时，求$\frac{S_{\triangle APQ}}{S_{\triangle ABC}}$的值.
(2)$\triangle APQ$能否与$\triangle CQB$相似？若能，求出$AP$的长；若不能，请说明理由.

答案：
(1)由题意得，AP=4x cm，AQ=(30-3x)cm.
当$x=\frac{10}{3}$时，$\frac{4x}{20}=\frac{30-3x}{30}=\frac{2}{3}$，即 AP:AB=AQ:AC.
又∠A=∠A，
所以△APQ∽△ABC，
所以$\frac{S_{\triangle APQ}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AP}{AB})^2=\frac{4}{9}$.
(2)能. 因为∠A=∠C，所以分 2 种情况.
情况 1：当△APQ∽△CQB 时，
CQ:AP=BC:AQ，
即$\frac{3x}{4x}=\frac{20}{30-3x}$，解得$x=\frac{10}{9}$，
经检验，$x=\frac{10}{9}$是原分式方程的解.
由题意知 0＜x≤5，所以$x=\frac{10}{9}$满足题意，
此时$AP=\frac{40}{9}cm$，
情况 2：当△APQ∽△CBQ 时，
CQ:AQ=BC:AP，
即$\frac{3x}{30-3x}=\frac{20}{4x}$，解得 x=5 或 x=-10(舍去)，
经检验，x=5 是原分式方程的解.
易知 x=5 满足题意，
此时 AP=20 cm.
综上所述，$AP=\frac{40}{9}cm$或 AP=20 cm.