《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

3. “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下等三匹马$A_1$，$B_1$，$C_1$，田忌也有上、中、下等三匹马$A_2$，$B_2$，$C_2$，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：$A_1 ＞ A_2 ＞ B_1 ＞ B_2 ＞ C_1 ＞ C_2$(注：$A ＞ B$表示A马与B马比赛，A马获胜).一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上等马、中等马、下等马，并采用孙膑的策略：分别用下等马、上等马、中等马与齐王的上等马、中等马、下等马比赛，即借助对阵$(C_2A_1,A_2B_1,B_2C_1)$获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上等马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率.
(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

答案：
(1)田忌首局应出“下等马”才可能获胜，此时比赛所有可能的对阵为$(A_{1}C_{2},B_{1}A_{2},C_{1}B_{2})$，$(A_{1}C_{2},C_{1}B_{2},B_{1}A_{2})$，$(A_{1}C_{2},B_{1}B_{2},C_{1}A_{2})$，$(A_{1}C_{2},C_{1}A_{2},B_{1}B_{2})$，共四种，其中获胜的有两种，故田忌获胜的概率为$\frac{1}{2}$.
(2)不是.
当齐王的“出马”顺序为$A_{1},B_{1},C_{1}$时，田忌获胜的对阵是$(A_{1}C_{2},B_{1}A_{2},C_{1}B_{2})$；
当齐王的“出马”顺序为$A_{1},C_{1},B_{1}$时，田忌获胜的对阵是$(A_{1}C_{2},C_{1}B_{2},B_{1}A_{2})$；
当齐王的“出马”顺序为$B_{1},A_{1},C_{1}$时，田忌获胜的对阵是$(B_{1}A_{2},A_{1}C_{2},C_{1}B_{2})$；
当齐王的“出马”顺序为$B_{1},C_{1},A_{1}$时，田忌获胜的对阵是$(B_{1}A_{2},C_{1}B_{2},A_{1}C_{2})$；
当齐王的“出马”顺序为$C_{1},A_{1},B_{1}$时，田忌获胜的对阵是$(C_{1}B_{2},A_{1}C_{2},B_{1}A_{2})$；
当齐王的“出马”顺序为$C_{1},B_{1},A_{1}$时，田忌获胜的对阵是$(C_{1}B_{2},B_{1}A_{2},A_{1}C_{2})$.
综上所述，田忌获胜的对阵有 6 种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的 6 种可能对阵，所以田忌获胜的概率为$\frac{1}{6}$.

1. 如图3-1-7，转盘A，B是两个可以自由转动的均匀的转盘，其中转盘A被分成3个面积相等的扇形，转盘B被分成5个面积相等的扇形.用画树状图或列表的方法求转动两个转盘配成紫色的概率.（转动转盘，一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，则可配成紫色）

答案：
解：如答表3 - 1 - 4，因为一共有15种等可能的结果，配成紫色的结果有3种，
答表3 - 1 - 4

所以配成紫色的概率为$\frac{1}{5}$.