《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 如图4-4-14，在四边形$ABDC$中，$AB // CD$，$\angle A = \angle C = 90^{\circ}$，$AC = CD$，$AB = \frac{1}{4}CD$，$E$是$AC$的中点，求证：$\triangle ABE \backsim \triangle CED$。
]

答案： 6. 证明：因为AC=CD，E是AC的中点，
所以$AE=EC=\frac{1}{2}CD$.
因为$AB=\frac{1}{4}CD$，
所以$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$.
因为∠A=∠C，
所以△ABE∽△CED.

1. 如图4-4-15，点$A$，$B$，$C$，$D$的坐标分别是$(1,7)$，$(1,1)$，$(4,1)$，$(6,1)$，以$C$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似，则点$E$的坐标不可能是(B)。

A.$(6,0)$
B.$(6,3)$
C.$(6,5)$
D.$(4,2)$
 ]

答案： 1. B

2. 如图4-4-16，在矩形$ABCD$中，$AB = 10$，$AD = 4$，点$P$是边$AB$上一点，若$\triangle APD$与$\triangle BPC$相似，则$AP =$2，5或8。

答案： 2. 2，5或8

3. 如图4-4-17，在平面直角坐标系中，已知$OA = 12\mathrm{cm}$，$OB = 6\mathrm{cm}$。点$P$从点$O$开始沿$OA$边向点$A$以$1\mathrm{cm/s}$的速度移动；点$Q$从点$B$开始沿$BO$边向点$O$以$1\mathrm{cm/s}$的速度移动。如果$P$，$Q$同时出发，用$t(\mathrm{s})$表示移动的时间$(0 ＜ t \leq 6)$，那么当$t$为何值时，$\triangle POQ$与$\triangle AOB$相似？
]

答案： 3. 解：分两种情况.
情况1：当△POQ∽△AOB时，$\frac{OQ}{OB}=\frac{OP}{OA}$，
即$\frac{6-t}{6}=\frac{t}{12}$，解得t=4.
情况2：当△POQ∽△BOA时，$\frac{OQ}{OA}=\frac{OP}{OB}$，
即$\frac{6-t}{12}=\frac{t}{6}$，解得t=2.
因为0＜t≤6，
所以当t=2或t=4时，△POQ与△AOB相似.