《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 梳理本章内容，用适当的方式呈现全章的知识结构.

答案： 本章知识结构如下：
1. 二次函数的定义：
一般形式$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
2. 二次函数的图象：
画法：描点法，列表、描点、连线。
性质：
$a\gt0$，开口向上；$a\lt0$，开口向下。
对称轴$x =-\frac{b}{2a}$。
顶点坐标$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
3. 二次函数的表达式：
一般式$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
顶点式$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$。
交点式$y=a(x - x_{1})(x - x_{2})(a\neq0)$（与$x$轴交点为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$）。
4. 二次函数的应用：
利润问题、面积问题等实际情境中二次函数模型的建立与最值求解。

2. 一元二次方程 $ x^{2}-1 = 0 $ 的根为(C).

A.$ x = 1 $
B.$ x = -1 $
C.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = -1 $
D.$ x_{1} = 0 $，$ x_{2} = 1 $

答案： C

3. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ k^{2}x^{2}-(2k + 1)x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，那么 $ k $ 的取值范围是(B).

A.$ k＞-\frac{1}{4} $
B.$ k＞-\frac{1}{4} $且 $ k\neq 0 $
C.$ k＜-\frac{1}{4} $
D.$ k\geqslant -\frac{1}{4} $且 $ k\neq 0 $

答案： B

4. 某单位准备在院内一个长 $ 30 $ m、宽 $ 20 $ m 的矩形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草.如图 2 - 1，要使种植花草的面积为 $ 532 $ $ m^{2} $，那么小道的宽度应为1m.(注：所有小道的宽度相等，且每段小道的形状均为平行四边形)

答案： 1 解析：设小道的宽度应为 x m，则种植花草部分的面积与长为(30-2x)m、宽为(20-x)m 的矩形的面积相等，依题意，得(30-2x)(20-x)=532，整理，得$x^{2}-35x+34=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=34$。当 x=1 时，30-2x=30-2×1=30-2=28＞0，符合题意；当 x=34 时，30-2x=30-2×34=30-68=-38＜0，不合题意，舍去。

5. 现定义运算“$\otimes$”，对于任意实数 $ a $，$ b $，都有 $ a\otimes b = a^{2}-3a + b $，如：$ 3\otimes 5 = 3^{2}-3× 3 + 5 $.若 $ x\otimes 2 = 6 $，则实数 $ x $ 的值是4 或-1.

答案： 4 或-1

6. 解方程：
(1) $ x^{2}-8x - 1 = 0 $；
(2) $ 2x^{2}+x = 3 $；
(3) $ 4(x + 2)^{2}=(3x - 1)^{2} $.

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-8x - 1 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-8x - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-8$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×(-1)=64 + 4=68$。
再代入求根公式可得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{68}}{2}=\frac{8\pm2\sqrt{17}}{2}=4\pm\sqrt{17}$。
所以$x_{1}=4+\sqrt{17}$，$x_{2}=4-\sqrt{17}$。
$(2)$ 解方程$2x^{2}+x = 3$
解：将方程化为一般形式$2x^{2}+x - 3 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 2$，$b = 1$，$c=-3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×(-3)=1 + 24=25$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{-1\pm5}{4}$。
当$x=\frac{-1 + 5}{4}$时，$x = 1$；当$x=\frac{-1-5}{4}$时，$x=-\frac{3}{2}$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$。
$(3)$ 解方程$4(x + 2)^{2}=(3x - 1)^{2}$
解：移项得$4(x + 2)^{2}-(3x - 1)^{2}=0$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2(x + 2)$，$b=(3x - 1)$，则$[2(x + 2)+(3x - 1)][2(x + 2)-(3x - 1)] = 0$。
即$(2x+4 + 3x - 1)(2x+4-3x + 1)=0$，化简得$(5x + 3)(-x + 5)=0$。
所以$5x + 3 = 0$或$-x + 5 = 0$。
当$5x + 3 = 0$时，$5x=-3$，解得$x=-\frac{3}{5}$；当$-x + 5 = 0$时，解得$x = 5$。
所以$x_{1}=-\frac{3}{5}$，$x_{2}=5$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{x_{1}=4+\sqrt{17},x_{2}=4-\sqrt{17}}$；$(2)$$\boldsymbol{x_{1}=1,x_{2}=-\frac{3}{2}}$；$(3)$$\boldsymbol{x_{1}=-\frac{3}{5},x_{2}=5}$。