《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 已知 $a$，$b$，$c$ 分别是三角形的三边长，则关于 $x$ 的方程 $(a + b)x^{2}+2cx+(a + b) = 0$ 的根的情况是(C)。

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判定

答案： C

2. 如图 2 - 3 - 1，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$。将形如 $ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$ 的一元二次方程称为“直系一元二次方程”。
(1) 请直接写出一个“直系一元二次方程”；
(2) 求证：关于 $x$ 的“直系一元二次方程” $ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$ 必有实数根；
(3) 若 $x = - 1$ 是“直系一元二次方程” $ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$ 的一个根，且 $S_{\triangle ABC} = 3$，求 $\sqrt{a^{2}-2c+\frac{1}{6}b^{2}}$ 的值。

答案：
(1)解：答案不唯一，如$3x^{2}+5\sqrt{2}x+4=0$.
(2)证明：$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$.
又因为$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，
所以$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geq0$，
所以该一元二次方程必有实数根.
(3)解：因为$x=-1$是方程$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根，
所以$a-\sqrt{2}c+b=0$，
所以$a+b=\sqrt{2}c$，所以$(a+b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})$，
所以$(a-b)^{2}=0$，
即$a=b$.
由$S_{\triangle ABC}=3$，得$ab=6$，
所以$a=b=\sqrt{6}$，$c=2\sqrt{3}$，
所以$\sqrt{a^{2}-2c+\frac{1}{6}b^{2}}=\sqrt{6-4\sqrt{3}+1}=\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=2-\sqrt{3}$.

3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(3m + 1)x + 2m^{2}+m = 0$，其中 $m$ 是实数，且 $m＞ - 1$。
(1) 证明：方程有两个不相等的实数根。
(2) 如图 2 - 3 - 2，设这个方程的两个实数根为 $x_{1}$，$x_{2}$，点 $A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$ 在 $x$ 轴上，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交一次函数 $y = 2x + 3$ 的图象于点 $C$。当 $\triangle ABC$ 的面积等于 $3$ 时，求 $m$ 的值。

答案：
(1)证明：$\Delta=b^{2}-4ac=[-(3m+1)]^{2}-8m^{2}-4m=(m+1)^{2}$，
因为$m＞-1$，所以$m+1＞0$，
所以$\Delta＞0$，
所以该方程有两个不相等的实数根.
(2)解：解这个方程，得$x_{1}=m$，$x_{2}=2m+1$，或$x_{1}=2m+1$，$x_{2}=m$.
因为$m＞-1$，
所以$2m+1-m=m+1＞0$，
第一种情形：点$A(m，0)$在点$B(2m+1，0)$的左侧，
过点$A$作$x$轴的垂线(图略)，交一次函数$y=2x+3$的图象于点$C(m，2m+3)$，
由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(m+1)(2m+3)=3$，
解得$m=\frac{1}{2}$或$m=-3$(舍去).
第二种情形：点$B(m，0)$在点$A(2m+1，0)$的左侧，
过点$A$作$x$轴的垂线(图略)，交一次函数$y=2x+3$的图象于点$C(2m+1，4m+5)$，
由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(m+1)(4m+5)=3$，
解得$m=\frac{-9+\sqrt{97}}{8}$或$m=\frac{-9-\sqrt{97}}{8}$(舍去).
综上$m=\frac{1}{2}$或$m=\frac{-9+\sqrt{97}}{8}$.