《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 如图 1 - 3 - 5，正方形 $ABCD$ 的面积为 $12$，$\triangle ABE$ 是等边三角形，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 内，在对角线 $AC$ 上有一点 $P$，使 $PD + PE$ 最小，则这个最小值为$2\sqrt{3}$.

答案：
$2\sqrt{3}$　解析:如答图1−3−2,连接BP,因为点B与D关于AC对称,所以PD=PB，所以PD+PE=PB+PE.
所以由两点之间线段最短可知当点P在点P'处时，PD+PE取得最小值，最小值为BE.
因为正方形ABCD的面积为12，所以AB=$2\sqrt{3}$.
又因为△ABE是等边三角形，所以BE=AB=$2\sqrt{3}$.
所以PD+PE的最小值为$2\sqrt{3}$.

3. (1)作图发现
如图 1 - 3 - 6，在$\triangle ABC$ 中，小涵同学分别以 $AB$，$AC$ 为一边向三角形 $ABC$ 外作等边三角形 $ABD$ 和等边三角形 $ACE$.连接 $BE$，$CD$.这时他发现 $BE$ 与 $CD$ 的数量关系是BE=CD.
(2)拓展探究
如图 1 - 3 - 7，在$\triangle ABC$ 中，小涵同学分别以 $AB$，$AC$ 为一边向外作正方形 $ABFD$ 和正方形 $ACGE$，连接 $BE$，$CD$，试判断 $BE$ 与 $CD$ 之间的数量关系，并说明理由.

答案：
(1)BE=CD　　解析:因为△ABD和△ACE都是等边三角形，所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,所以∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ ∠DAC=∠BAE,\\ AC=AE,\end{array}\right. $所以△ADC≌△ABE(SAS),所以CD=BE.
(2)BE=CD.理由如下:因为四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=90°,所以∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ ∠DAC=∠BAE,\\ AC=AE,\end{array}\right. $所以△ADC≌△ABE(SAS),所以BE=CD.

1. 如图1-3-8，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是(A).

A.$∠ABC = 90^{\circ}$
B.$AC = AD$
C.$BD = AB$
D.$OD = AC$
]

答案： A

2. 在四边形ABCD中，$∠A = ∠B = ∠C = 90^{\circ}$，下列条件能使这个四边形是正方形的是(C).

A.$∠D = 90^{\circ}$
B.$AB = CD$
C.$BC = CD$
D.$AC = BD$

答案： C