《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 如图4-4-20，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，点$B$，$D$，$E$在一条直线上，求证：$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$.

答案： 证明：因为在△ABC 和△ADE 中，
$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
所以△ABC∽△ADE，
所以∠BAC=∠DAE，
所以∠BAD=∠CAE.
因为$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
所以△ABD∽△ACE.

1. 如图4-4-21，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$BC = 8$，$AC = 7$，点$D$，$E$分别在$AB$，$BC$上，将$\triangle BDE$沿$ED$折叠，点$B$的对应点$F$刚好落在$AC$上.当$\triangle CEF$与$\triangle ABC$相似时，$BE$的长为$\frac{24}{7}$或$\frac{48}{13}$.
 

答案： $\frac{24}{7}$或$\frac{48}{13}$

2. 在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图4-4-22，请在边长为1个单位长度的$2×3$的方格纸中，找出一个格点三角形$DEF$.如果$\triangle DEF$与$\triangle ABC$相似(相似比不为1)，那么$\triangle DEF$的面积为1.

答案： 1

3. 如图4-4-23，点$B$，$D$，$E$在一条直线上，$BE$交$AC$于点$F$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.
(1)求证：$\angle BAD=\angle CAE$；
(2)求证：$\triangle AEF\backsim\triangle BCF$.

答案： 证明：
(1)因为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
所以△ABC∽△ADE，
所以∠BAC=∠DAE，
所以∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
所以∠BAD=∠CAE.
(2)因为△ABC∽△ADE，
所以∠C=∠E.
在△AEF 和△BFC 中，∠C=∠E，∠AFE=∠BFC，
所以△AEF∽△BCF.