《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

7. 若方程 $ x^{2}-3x - 1 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1} $，$ x_{2} $，则 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $ 的值为-3.

答案： -3

1. 在解关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $ 时，甲看错了一次项系数，解得两实数根为 $ -1 $ 和 $ 6 $；乙看错了常数项，解得两实数根为 $ -3 $ 和 $ 4 $，求正确的方程.

答案： 解：因为甲看错了一次项系数，解得两根为-1和6，
所以二次项系数和常数项正确.
由$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$，得$-1×6=c$，
所以$c=-6$.
因为乙看错了常数项，解得两根为-3和4，
所以二次项系数和一次项系数正确.
由$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，得$-3+4=-b$，
所以$b=-1$.
所以正确的方程是$x^{2}-x-6=0$.

2. 已知 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0 $ 的两实数根.
（1）若 $ (x_{1}-1)(x_{2}-1)=28 $，求 $ m $ 的值；
（2）已知等腰三角形 $ ABC $ 的一边长为 $ 7 $，若 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 恰好是 $ \triangle ABC $ 另外两边的长，求这个三角形的周长.

答案： （1）根据题意得$\Delta=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+5)\geq0$，解得$m\geq2$.
$x_{1}+x_{2}=2(m+1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}+5$.
因为$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$，
即$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=28$，
所以$m^{2}+5-2(m+1)+1=28$，
整理得$m^{2}-2m-24=0$，
解得$m_{1}=6$，$m_{2}=-4$，而$m\geq2$，
所以$m$的值为6.
（2）当腰长为7时，$x=7$是一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$的一个解，
把$x=7$代入方程得$49-14(m+1)+m^{2}+5=0$，
整理得$m^{2}-14m+40=0$，
解得$m_{1}=10$，$m_{2}=4$.
当$m=10$时，$x_{1}+x_{2}=2(m+1)=22$，解得$x_{2}=15$，而$7+7＜15$，故舍去；
当$m=4$时，$x_{1}+x_{2}=2(m+1)=10$，解得$x_{2}=3$，则这个三角形的周长为$3+7+7=17$.
当7为等腰三角形的底边长时，$x_{1}=x_{2}$，所以$\Delta=0$，则$m=2$，
原方程化为$x^{2}-6x+9=0$，
解得$x_{1}=x_{2}=3$，
而$3+3＜7$，故舍去.
所以这个三角形的周长为17.

3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}+kx + 7 = 0 $ 的两个根，且这个直角三角形的斜边长是 $ 3 $，求 $ k $ 的值.

答案： 解：设直角三角形的斜边长为$c$，两直角边长分别为$a$与$b$，则$c=3$.
因为直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$2x^{2}+kx+7=0$的两个根，所以$\Delta=k^{2}-4×2×7＞0$，即$k^{2}＞56$，
所以$a+b=-\frac{k}{2}$，$ab=3.5$.
根据勾股定理可得$c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=\frac{k^{2}}{4}-7=9$，
所以$k=\pm8$.
因为$a+b=-\frac{k}{2}＞0$，
所以$k＜0$，所以$k=-8$.

1. 如图2-6-1，一艘轮船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报.某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区.当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(B)h它就会进入台风影响区.

A.10
B.7
C.6
D.12

答案： B