《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 如图 4 - 3 - 5，把矩形 $ ABCD $ 中的 $ AB $ 边向上翻折到 $ AD $ 边上，当点 $ B $ 与点 $ F $ 重合时，折痕与 $ BC $ 边交于点 $ E $，连接 $ EF $，若四边形 $ FDCE $ 与矩形 $ ABCD $ 恰好相似，当 $ AB = 1 $ 时，$ AD $ 的长为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

答案： $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

2. 如图 4 - 3 - 6，在边长为 1 的菱形 $ ABCD $ 中，$ \angle DAB = 60^{\circ} $，连接 $ AC $，以 $ AC $ 为一边作第二个菱形 $ ACC_{1}D_{1} $，连接 $ AC_{1} $，再以 $ AC_{1} $ 为一边作第三个菱形 $ AC_{1}C_{2}D_{2} $，使得所作的菱形都相似……按此规律，第 2022 个菱形的边长为$(\sqrt{3})^{2021}$.

答案：
$(\sqrt{3})^{2021}$ 解析:如答图4-3-1，连接DB，交AC于点M,
因为四边形ABCD是菱形，
所以AD=AB,AC⊥DB.
因为∠DAB=60°,
所以△ADB是等边三角形,
所以DB=AD=1,
所以$BM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}$，
所以$AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$AC=2AM=\sqrt{3}$.
同理可得$AC_{1}=\sqrt{3}AC=(\sqrt{3})^{2}$，
$AC_{2}=\sqrt{3}AC_{1}=3\sqrt{3}=(\sqrt{3})^{3}$，
按此规律，第n个菱形的边长为$(\sqrt{3})^{n - 1}$，
则第2022个菱形的边长为$(\sqrt{3})^{2021}$.

3. 如图 4 - 3 - 7，将 A4 纸折叠 2 次，发现第一次的折痕与 A4 纸较长边重合；如图 4 - 3 - 8，将 1 张 A4 纸对折，使其较长边一分为二，沿折痕剪开，可得 2 张 A5 纸.
(1) A4 纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$.
(2) A4 纸与 A5 纸是不是相似图形？请说明理由.

答案：
1. $\sqrt{2}:1$ 解析:如答图4-3-2,
由勾股定理可得$BC=\sqrt{2}AB$，
所以A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$.

2. A4纸与A5纸是相似图形.理由如下:
因为A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$，
所以设A4纸较短边为a，则较长边为$\sqrt{2}a$.
因为由题图4-3-8可知:A5纸较长边与A4纸较短边重合，较短边等于A4纸较长边的一半，
所以A5纸较长边为a，较短边为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
所以A5纸较长边与较短边的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}:1$.
所以A4纸较长边与较短边的比=A5纸较长边与较短边的比.
又因为A4纸与A5纸的四个角均为直角，
所以A4纸与A5纸是相似图形.