《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

3. 如图1-1-20，在$Rt\triangle ABC$中，$∠B = 90^{\circ}$，$AC = 60$cm，$∠A = 60^{\circ}$，点$D$从点$C$出发沿$CA$边以$4$cm/s的速度向点$A$匀速运动，同时点$E$从点$A$出发沿$AB$边以$2$cm/s的速度向点$B$匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点$D$，$E$运动的时间是$t$s.过点$D$作$DF\perp BC$于点$F$，连接$DE$，$EF$.
(1)四边形$AEFD$能够成为菱形吗？如果能，求出相应的$t$值；如果不能，请说明理由.
(2)当$t$为何值时，$\triangle DEF$为直角三角形？请说明理由.
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答案：
(1)能.
在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4tcm,所以DF=2tcm,AD=(60−4t)cm.
又因为AE=2tcm,
所以AE=DF.
因为AB⊥BC,DF⊥BC,
所以AE//DF.
又因为AE=DF,
所以四边形AEFD为平行四边形.
所以当AD=AE时，四边形AEFD为菱形，
即60−4t=2t,解得t=10.
经验证，当t=10时，四边形AEFD为菱形.
(2)①当∠DEF=90°时,由
(1)知四边形AEFD为平行四边形，
所以EF//AD,
所以∠ADE=∠DEF=90°.
因为∠A=60°,
所以∠AED=30°,
所以AD=$\frac{1}{2}$AE=tcm.
又AD=(60−4t)cm,即60−4t=t,解得t=12.②当∠EDF=90°时,∠AED=90°,在Rt△AED 中,∠A=60°,则∠ADE=30°,
所以AD=2AE,即60−4t=4t,解得t=$\frac{15}{2}$,
③若∠EFD=90°,则点E与点B重合，点D与点A重合，此种情况不存在，
经验证，当t=$\frac{15}{2}$或t=12时，△DEF为直角三角形.

1. 菱形和矩形都具有的性质是(A).

A.对角线互相平分
B.有一组邻边相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直

答案： A

2. 在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$.若 $AB = 5$，$AD = 12$，则 $OC=$6.5.

答案： 6.5

3. 如图 1 - 2 - 1，在矩形 $ABCD$ 中，$\angle BOC = 120^{\circ}$，$AB = 4$，则 $AC$ 的长是8.

  

答案： 8

4. 如图 1 - 2 - 2，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2BC$，在 $CD$ 上取一点 $E$，使 $AE = AB$，则 $\angle EBC$ 等于15°.

答案： 15°

5. 如图 1 - 2 - 3，在矩形 $ABCD$ 中，$\angle BDC$ 的平分线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$，若 $AD = 3$，$AE = 9$，则 $AB$ 的长为4.

答案： 4