《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0 $.
(1)求证：无论 $ k $ 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 $ x_{1} $，$ x_{2} $，且 $ k $ 与 $ \frac{x_{1}}{x_{2}} $ 都为整数，求 $ k $ 所有可能的值.

答案：
(1)证明：因为$\Delta=[-(2k+1)]^{2}-4×(k^{2}+k)=1＞0$，
所以无论$k$取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)解：因为$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$，即$(x-k)[x-(k+1)]=0$，
解得$x=k$或$x=k+1$.
所以一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$的两根为$k$，$k+1$，
所以$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$或$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$.
若$1+\frac{1}{k}$为整数，则$k$为1的约数，
所以$k=\pm1$；
若$1-\frac{1}{k+1}$为整数，则$k+1$为1的约数，
所以$k+1=\pm1$，
所以$k$的值为0或$-2$.
所以整数$k$的所有可能的值为$\pm1$，0，$-2$.

1. 设一元二次方程 $ x^{2}-6x + 4 = 0 $ 的两实数根分别为 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2}= $6，$ x_{1}\cdot x_{2}= $4.

答案： 6 4

2. 一元二次方程 $ x^{2}-5x + 6 = 0 $ 的一个实数根 $ x_{1}=2 $，则另一个实数根 $ x_{2}= $3.

答案： 3

3. 如果关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}-7x + m = 0 $ 的两实数根互为倒数，那么 $ m $ 的值为(C).

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

答案： C

4. 已知 $ \alpha $，$ \beta $ 是方程 $ 2x^{2}-3x - 1 = 0 $ 的两个实数根，则 $ (\alpha - 2)(\beta - 2) $ 的值是(A).

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{13}{2} $
C.$ 3 $
D.$ \frac{3}{2} $

答案： A

5. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2(m - 1)x + m^{2}=0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1} $，$ x_{2} $，且 $ x_{1}+x_{2}＞0 $，$ x_{1}x_{2}＞0 $，则 $ m $ 的取值范围是(B).

A.$ m\leqslant \frac{1}{2} $
B.$ m\leqslant \frac{1}{2} $ 且 $ m\neq 0 $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ m ＜ 1 $ 且 $ m\neq 0 $

答案： B

6. 若 $ x_{1}=\sqrt{3}-2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+ax + 1 = 0 $ 的一个根，则 $ a = $4，该方程的另一个根 $ x_{2}= $$-\sqrt{3}-2$.

答案： 4 $-\sqrt{3}-2$