《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

10. 如图 24-3-8,等边三角形 $ ABC $ 和正方形 $ ADEF $ 都内接于 $ \odot O $,则 $ AD : AB $ 等于(B)

A.$ 2\sqrt{2} : \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{2} : \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{3} : \sqrt{2} $
D.$ \sqrt{3} : 2\sqrt{2} $

答案： B

11. (2024 东营)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”. “割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率 $ \pi $ 的近似值为 $ 3.1416 $. 如图 24-3-9,$ \odot O $ 的半径为 $ 1 $,运用“割圆术”,以圆内接正六边形的面积近似估计 $ \odot O $ 的面积,可得 $ \pi $ 的估计值为 $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $. 若用圆内接正八边形的面积近似估计 $ \odot O $ 的面积,可得 $ \pi $ 的估计值为$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

12. 请阅读下面的材料,并完成相应的任务：
| 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家、天文学家、地理学家和占星家. 在数学方面,他还论证了四边形的特性,即有名的托勒密定理,托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积,即：如图 24-3-10,若四边形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $,则有______. |
||

任务：
(1)材料中横线上应填写的内容为$AB\cdot CD + AD\cdot BC = AC\cdot BD$；
(2)如图 24-3-11,正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $,$ AB = 2 $,求对角线 $ BD $ 的长.
$1+\sqrt{5}$

答案：
(1)$AB\cdot CD + AD\cdot BC = AC\cdot BD$
(2)$1+\sqrt{5}$

13. 如图 24-3-12①,正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $,阅读以下作图过程,并回答问题.
作法如图②.
(i)作直径 $ AF $；
(ii)以点 $ F $ 为圆心,$ FO $ 为半径作弧,与 $ \odot O $ 交于点 $ M $,$ N $；
(iii)连接 $ AM $,$ MN $,$ NA $.
(1)求 $ \angle ABC $ 的度数；
(2)$ \triangle AMN $ 是等边三角形吗？请说明理由；
(3)从点 $ A $ 开始,以 $ DN $ 长为半径,在 $ \odot O $ 上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正 $ n $ 边形,求 $ n $ 的值.
]

答案：
解:
(1)
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴$\angle ABC=\frac{(5 - 2)×180°}{5}=108°$.
(2)$\triangle AMN$是等边三角形. 理由:连接ON,NF,如图. 由题意可得$FN = ON = OF$,
∴$\triangle FON$是等边三角形，
∴$\angle NFA = 60°$，
∴$\angle NMA = 60°$. 同理可得$\angle ANM = 60°$，
∴$\angle MAN = 60°$，
∴$\triangle AMN$是等边三角形.
(3)连接OD,如图.
∵$\angle NMA = 60°$，
∴$\angle AON = 120°$.
∵$\angle AOD=\frac{360°}{5}×2 = 144°$，
∴$\angle NOD = \angle AOD - \angle AON = 144° - 120° = 24°$.
∵$360°÷24° = 15$，
∴n的值是15.