《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

3. 如图 4-ZT-5,已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 x 轴交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,与 y 轴交于点 $ C(0,-3) $。
(1)求该二次函数的解析式。
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 P,使 $ \triangle PAC $ 的周长最小？若存在,求出点 P 的坐标；若不存在,请说明理由。
(3)点 Q 在线段 OB 上(不与点 O,B 重合),过点 Q 作 $ QM \perp x $ 轴交抛物线于点 M,交线段 BC 于点 N,求线段 MN 的最大值及此时点 M 的坐标。

答案：
(1)$y=x^{2}-2x-3$
(2)存在 点 P 的坐标为$(1,-2)$
(3)MN 的最大值为$\dfrac{9}{4}$,点 M 的坐标为$\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{4}\right)$

4. 如图 4-ZT-7,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 3 $ 交 x 轴于点 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $,过点 B 的直线 $ y = \frac{2}{3}x - 2 $ 交抛物线于点 C。
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点(点 P 不与点 B,C 重合),求 $ \triangle PBC $ 面积的最大值。

答案：
(1)将$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=ax^{2}+bx-3$,得$\begin{cases} a-b-3=0, \\9a+3b-3=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\b=-2, \end{cases}$$\therefore$该抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-2x-3$.
(2)过点 P 作$PD// y$轴,交 x 轴于点 D,交 BC 于点 E,过点 C 作$CF\perp PD$于点 F,连接 PB,PC.设点 P 的坐标为$(m,m^{2}-2m-3)$,则点 E 的坐标为$\left(m,\dfrac{2}{3}m-2\right)$,$\therefore PE=\dfrac{2}{3}m-2-(m^{2}-2m-3)=-m^{2}+\dfrac{8}{3}m+1$.联立方程组$\begin{cases} y=x^{2}-2x-3, \\y=\dfrac{2}{3}x-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_{1}=3, \\y_{1}=0, \end{cases}$$\begin{cases} x_{2}=-\dfrac{1}{3}, \\y_{2}=-\dfrac{20}{9}. \end{cases}$$\because$点 B 的坐标为$(3,0)$,$\therefore$点 C 的坐标为$\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{20}{9}\right)$,$\therefore BD+CF=3+\left| -\dfrac{1}{3} \right|=\dfrac{10}{3}$,$\therefore S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PEB}+S_{\triangle PEC}=\dfrac{1}{2}PE\cdot BD+\dfrac{1}{2}PE\cdot CF=\dfrac{1}{2}PE\cdot (BD+CF)=\dfrac{1}{2}\left(-m^{2}+\dfrac{8}{3}m+1\right)\cdot \dfrac{10}{3}=-\dfrac{5}{3}\left(m-\dfrac{4}{3}\right)^{2}+\dfrac{125}{27}$(其中$-\dfrac{1}{3}\lt m＜3$).$\because -\dfrac{5}{3}\lt0$,$\therefore$当$m=\dfrac{4}{3}$时,$S_{\triangle PBC}$取得最大值,最大值为$\dfrac{125}{27}$.