《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

10. (2024 宁夏)若二次函数 $ y = 2x^2 - x + m $ 的图象与 $ x $ 轴有交点,则 $ m $ 的取值范围是$ m\leqslant \frac{1}{8} $.

答案： $ m\leqslant \frac{1}{8} $

11. (2024 新疆生产建设兵团)如图 22-Y-5,抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 6 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,与 $ x $ 轴交于点 $ B $,线段 $ CD $ 在抛物线的对称轴上移动(点 $ C $ 在点 $ D $ 下方),且 $ CD = 3 $. 当 $ AD + BC $ 的值最小时,点 $ C $ 的坐标为______(4,1).

答案： (4,1)

12. (2024 龙东地区)如图 22-Y-6,抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中 $ B(1,0),C(0,3) $.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点 $ P $,使得 $ \triangle APC $ 的面积最大？若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标和 $ \triangle APC $ 面积的最大值；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$ y=-x^{2}-2x+3 $
(2)存在 点 P 的坐标为$ \left(-\frac{3}{2},\frac{15}{4}\right) $,$ \triangle APC $的面积的最大值为$ \frac{27}{8} $

13. (2024 陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥. 桥梁的缆索 $ L_1 $ 与缆索 $ L_2 $ 均呈抛物线形,桥塔 $ AO $ 与桥塔 $ BC $ 均垂直于桥面,如图 22-Y-7 所示,以 $ O $ 为原点,以直线 $ FF' $ 为 $ x $ 轴,以桥塔 $ AO $ 所在直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系.
已知：缆索 $ L_1 $ 所在抛物线与缆索 $ L_2 $ 所在抛物线关于 $ y $ 轴对称,桥塔 $ AO $ 与桥塔 $ BC $ 之间的距离 $ OC = 100\ m $,$ AO = BC = 17\ m $,缆索 $ L_1 $ 的最低点 $ P $ 到 $ FF' $ 的距离 $ PD = 2\ m $.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索 $ L_1 $ 所在抛物线的函数解析式；
(2)点 $ E $ 在缆索 $ L_2 $ 上,$ EF \perp FF' $,且 $ EF = 2.6\ m $,$ FO ＜ OD $,求 $ FO $ 的长.

答案： 解:
(1)$ \because AO=17\ m $,
$ \therefore A(0,17) $.
$ \because AO=BC $,
$ \therefore $由抛物线的轴对称性可知$ OD=\frac{1}{2}OC=50\ m $.
又$ \because $缆索$ L_{1} $的最低点 P 到$ FF' $的距离$ PD=2\ m $,$ \therefore $抛物线的顶点 P 的坐标为(50,2),
故可设缆索$ L_{1} $所在抛物线的函数解析式为$ y=a(x-50)^{2}+2 $.
将$ A(0,17) $代入,得$ 2500a+2=17 $,
解得$ a=\frac{3}{500} $,
$ \therefore $缆索$ L_{1} $所在抛物线的函数解析式为$ y=\frac{3}{500}(x-50)^{2}+2 $.
(2)$ \because $缆索$ L_{1} $所在抛物线与缆索$ L_{2} $所在抛物线关于 y 轴对称,缆索$ L_{1} $所在抛物线的函数解析式为$ y=\frac{3}{500}(x-50)^{2}+2 $,
$ \therefore $缆索$ L_{2} $所在抛物线的函数解析式为$ y=\frac{3}{500}(x+50)^{2}+2 $.
在$ y=\frac{3}{500}(x+50)^{2}+2 $中,
令$ y=2.6 $,得$ 2.6=\frac{3}{500}(x+50)^{2}+2 $,
解得$ x_{1}=-40,x_{2}=-60 $,
$ \therefore FO=40\ m $或$ FO=60\ m $.
$ \because FO＜OD=50\ m $,$ \therefore FO $的长为 40 m.