《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

10. 若小明将如图22-1-21所示的两条水平线 $ AB $,$ CD $ 中的一条当成 $ x $ 轴,且向右为正方向；两条铅垂线 $ AC $,$ BD $ 中的一条当成 $ y $ 轴,且向上为正方向,并在此坐标平面中画出了二次函数 $ y = 2(x - 1)^2 $ 的图象,则坐标原点是(C)

A.点 $ A $
B.点 $ B $
C.点 $ C $
D.点 $ D $

答案： C

11. 已知二次函数 $ y = -(x + h)^2 $,当 $ x ＜ -3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,当 $ x ＞ -3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 的值为(B)
A.-1
B.-9
C.1
D.9

答案： B

12. 若点 $ P(m, n) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上,则下列各点在抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 上的是(D)
A.$ (m, n + 1) $
B.$ (m + 1, n) $
C.$ (m, n - 1) $
D.$ (m - 1, n) $

答案： D

13. 已知二次函数 $ y = a(x + m)^2 $ 的图象的顶点坐标为 $ (-1, 0) $,且过点 $ A(-2, -\frac{1}{2}) $。
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 点 $ B(2, -2) $ 在这个函数的图象上吗？为什么？若不在,你能通过左右平移函数图象,使它过点 $ B(2, -2) $ 吗？若能,请写出平移方案。

答案：
(1)y = -$\frac{1}{2}$(x + 1)²
(2)不在.理由:把x = 2代入y = -$\frac{1}{2}$(x + 1)²,得y = -$\frac{1}{2}$×(2 + 1)² = -$\frac{9}{2}$≠ - 2,
∴点B(2, - 2)不在这个函数的图象上. 能通过左右平移函数图象，使它过点B(2, - 2). 设平移后所得图象的函数解析式为y = -$\frac{1}{2}$(x + 1 + n)². 把B(2, - 2)代入,得 - 2 = -$\frac{1}{2}$(2 + 1 + n)²,解得n₁ = - 1,n₂ = - 5,
∴将二次函数y = -$\frac{1}{2}$(x + 1)²的图象向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度可过点B(2, - 2).

14. 如图22-1-22,将抛物线 $ y = x^2 $ 向右平移 $ a $ 个单位长度后,所得抛物线的顶点为 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且 $ \triangle AOB $ 为等腰直角三角形。
(1) 求 $ a $ 的值。
(2) 在抛物线上是否存在点 $ C $,使 $ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形？若存在,直接写出点 $ C $ 的坐标,并求出 $ S_{\triangle ABC} $；若不存在,请说明理由。
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答案： 解:
(1)由题意，得A(a,0)，平移后的抛物线的解析式为y = (x - a)²,
∴OA = a. 在y = (x - a)²中,令x = 0，则y = a²,
∴B(0,a²),
∴OB = a².
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA = OB,
∴a = a², 解得a₁ = 1,a₂ = 0(不合题意，舍去). 故a的值为1.
(2)作点B关于抛物线对称轴的对称点C,连接BC，AC,交抛物线的对称轴于点D,如图所示.
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD = 45°.
∵AD为抛物线的对称轴，
∴AB = AC,∠CAD = ∠BAD = 45°,
∴∠BAC = 90°,
∴△ABC为等腰直角三角形.
∵B(0,1)，抛物线的对称轴为直线x = 1，
∴点C的坐标为(2,1),
∴BC = 2,
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}$×2×1 = 1. 故在抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为(2,1),S△ABC = 1.