《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

10. 数学思想 分类讨论 课下小亮和小莹讨论一道题目：已知点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心,$ \angle BOC = 132^{\circ} $,求 $ \angle A $ 的度数。小亮的解答为：如图 24 - 2 - 6,画 $ \triangle ABC $ 以及它的外接圆 $ \odot O $,连接 $ OB $,$ OC $。由 $ \angle BOC = 2\angle A = 132^{\circ} $,得 $ \angle A = 66^{\circ} $。而小莹说：“小亮考虑得不周全,$ \angle A $ 应该还有另一个不同的值。”下列判断正确的是(C)

A.小亮求的结果不对,$ \angle A $ 应该是 $ 48^{\circ} $
B.小莹说得不对,$ \angle A $ 就是 $ 66^{\circ} $
C.小莹说得对,$ \angle A $ 的另一个值是 $ 114^{\circ} $
D.两人说得都不对,$ \angle A $ 的值有无数个

答案： C

11. 如图 24 - 2 - 7,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 3 $,$ AD = 4 $。过点 $ D $ 作 $ DE \perp AC $ 于点 $ E $,过点 $ A $ 作 $ AF \perp BD $ 于点 $ F $。
(1)求 $ AF $,$ AE $ 的长；
(2)若以点 $ A $ 为圆心作圆,点 $ B $,$ C $,$ D $,$ E $,$ F $ 中至少有 $ 1 $ 个点在圆内,且至少有 $ 2 $ 个点在圆外,求 $ \odot A $ 的半径 $ r $ 的取值范围。
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答案：
(1)$AF=\frac{12}{5}$　$AE=\frac{16}{5}$　
(2)$\frac{12}{5} ＜ r ＜ 4$

12. 核心素养 创新意识 问题：我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,那么任意一个四边形都有外接圆吗？
探索：给出了如图 24 - 2 - 8 所示的四边形,填写出你认为有外接圆的图形的序号：______；

发现：对角之间满足什么关系时,四边形一定有外接圆？写出你的发现；
说理：如果四边形没有外接圆,那么对角之间有上面的关系吗？请结合图 24 - 2 - 9 说明理由。

答案：
解:探索:②
发现:对角互补的四边形一定有外接圆.
说理:如果四边形没有外接圆,那么对角之间没有上面的关系.
理由:如图①,延长 DC 交$\odot O$于点 E,连接 BE.
$\because \angle A+\angle E=180°,\angle BCD ＞ \angle E$,
$\therefore \angle A+\angle BCD ＞ 180°$.

如图②,连接 DE.
$\because \angle A+\angle BED=180°,\angle BED ＞ \angle C$,
$\therefore \angle A+\angle C ＜ 180°$.