《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

3. 如图 5-ZT-4,抛物线 $y = ax^2 + 2x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$,与 $x$ 轴交于点 $A$,$B(3,0)$,与 $y$ 轴交于点 $C$,连接 $AC$。
(1) 求此抛物线的解析式。
(2) 已知 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点,过点 $D$ 作 $DM \perp x$ 轴,垂足为 $M$,$DM$ 交直线 $BC$ 于点 $N$,是否存在这样的点 $N$,使得以 $A$,$C$,$N$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,请求出点 $N$ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)$y=-x^{2}+2x+3$
(2)存在 点 N 的坐标为$(2,1)$或$(\sqrt {5},3-\sqrt {5})$或$(\frac {5}{2},\frac {1}{2})$

4. (2024 泰安) 如图 5-ZT-5,抛物线 $C_1:y = ax^2 + \frac{4}{3}x - 4$ 经过点 $D(1,-1)$,与 $x$ 轴交于点 $A$,$B$。
(1) 求抛物线 $C_1$ 的解析式。
(2) 将抛物线 $C_1$ 向右平移 $1$ 个单位长度,再向上平移 $3$ 个单位长度得到抛物线 $C_2$,求抛物线 $C_2$ 的解析式,并判断点 $D$ 是否在抛物线 $C_2$ 上。
(3) 在 $x$ 轴上方的抛物线 $C_2$ 上,是否存在点 $P$,使 $\triangle PBD$ 是等腰直角三角形？若存在,请求出点 $P$ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)$y=\frac {5}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x-4$
(2)抛物线$C_{2}$的解析式为$y=\frac {5}{3}(x-\frac {3}{5})^{2}-\frac {19}{15}$ 点 D 在抛物线$C_{2}$上
(3)存在 点 P 的坐标为$(2,2)$或$(-1,3)$