《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

11. 如图24-1-33,在⊙O中,半径$OA \perp OB$,C,D为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦AB分别交OC,OD于点E,F.
(1)求$\angle AEO$的度数；
(2)求证：$AE = BF = CD$.

答案：

(1)
∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C，D为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=$\frac{1}{3}$×90°=30°.
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEO=180° - 45° - 30°=105°.
(2)证明：如图，连接AC，BD.

∵C，D为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=BD，∠AOC=∠DOC=30°.
在△ACO与△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}OA=OD,\\ \angle AOC=\angle DOC,\\ OC=OC,\end{array}\right.$
∴△ACO≌△DCO(SAS)，
∴∠ACO=∠DCO.
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=$\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}$=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD//AB，
∴∠AEC=∠DCO，
∴∠ACO=∠AEC，
∴AC=AE.同理，BF=BD.
又
∵AC=CD=BD，
∴AE=BF=CD.

12. 如图24-1-34,以$□ ABCD$的顶点A为圆心,AB长为半径作圆,分别交AD,BC于点E,F,延长BA交⊙A于点G.
(1)求证：$\overset{\frown}{GE} = \overset{\frown}{EF}$；
(2)若$\overset{\frown}{BF}所对圆心角的度数为50^{\circ}$,求$\angle C$的度数.

答案：
(1)证明：连接AF.
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，
∴∠DAF=∠GAD，
∴$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
(2)115°

13. 核心素养推理能力如图24-1-35,点A,B,C,D在⊙O上,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$,连接AB,AD,BD,延长AB到点E,使$BE = AB$,连接EC,F是EC的中点,连接BF.求证：$BF = \frac{1}{2}BD$.

答案： 证明：连接AC.
∵AB=BE，F是EC的中点，
∴BF是△EAC的中位线，
∴BF=$\frac{1}{2}$AC.
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，
即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
∴BD=AC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD.