《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

14. (2024 内江)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-px + 1 = 0 $($ p $ 为常数)有两个不等的实数根 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $.
(1) $ x_{1}+x_{2} = $p,$ x_{1}x_{2} = $1；
(2) 求 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}},x_{1}+\frac{1}{x_{1}} $ 的值；
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=p$，$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$
(3) 已知 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 2p + 1 $,求 $ p $ 的值.
$p=3$

答案：
(1)p 1
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=p$ $x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$
(3)$p=3$

15. 定义：设 $ m,n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的两个实数根,若满足 $ |m + n| = |mn| $,则称此类方程为“同步方程”.例如,方程 $ x^{2}-4x + 4 = 0 $ 是“同步方程”.
(1) 下列方程是“同步方程”的是______(填序号).
① $ x^{2} = 0 $；② $ x^{2}-x - 1 = 0 $；③ $ x(x - 3) = 0 $.
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0 $ 是“同步方程”,求 $ a $ 的值.
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}+bx + 3c = 0 $ 为“同步方程”,直接写出 $ b,c $ 满足的数量关系.
(1)①②
(2)$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$
(3)$b=\pm 3c$

答案：
(1)①②
(2)$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$
(3)$b=\pm 3c$

16. 已知矩形 $ ABCD $ 的两条边 $ AB $ 和 $ BC $ 的长恰好是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2k + 1)x + 4k - 3 = 0 $ 的两根.
(1) 求证：无论 $ k $ 取何值,方程总有两个不等的实数根.
(2) 若矩形 $ ABCD $ 的对角线长 $ AC = \sqrt{31} $,求矩形 $ ABCD $ 的周长和面积.
(3) ① 在 (2) 的条件下,数学兴趣小组探究：是否存在另一个矩形 $ EFGH $,使它的周长和面积分别是矩形 $ ABCD $ 的周长和面积的一半？如果存在,请求出该矩形的长和宽；如果不存在,请说明理由.
② 拓展探究：如果有一个矩形的长为 $ a $,宽为 $ b $,那么 $ a,b $ 应满足什么条件,才一定存在另一个矩形的周长和面积都是该矩形的一半？请直接写出应满足的条件.

答案： 解:
(1)证明:$\because \Delta =[-(2k+1)]^{2}-4× 1×(4k-3)=4k^{2}-12k+13=4\left(k-\frac{3}{2}\right)^{2}+4＞0$，$\therefore$无论k取何值，方程总有两个不等的实数根.
(2)$\because AB$和$BC$的长是方程的两根，$\therefore$设$AB=x_{1},BC=x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=2k+1,x_{1}x_{2}=4k-3$.$\because$矩形$ABCD$的对角线长$AC=\sqrt{31}$，$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=31$，$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=31$，$\therefore (2k+1)^{2}-2(4k-3)=31$，整理得$k^{2}-k-6=0$，解得$k_{1}=3,k_{2}=-2$.$\because AB+BC＞0,\therefore 2k+1＞0$，$\therefore k＞-\frac{1}{2},\therefore k=3$，$\therefore AB+BC=7,AB\cdot BC=9$，$\therefore$矩形$ABCD$的周长为$2(AB+BC)=2×7=14$,面积为$AB\cdot BC=9$.
(3)①不存在.理由如下:由
(2)知矩形$ABCD$的周长为14,面积为9,则矩形$EFGH$的周长为7,面积为$\frac{9}{2}$.设矩形$EFGH$的长为n,则宽为$\frac{7}{2}-n$.由题意,得$n\left(\frac{7}{2}-n\right)=\frac{9}{2}$，整理得$2n^{2}-7n+9=0$.$\because \Delta =49-72=-23＜0,\therefore$原方程无实数根，$\therefore$不存在另一个矩形$EFGH$,使它的周长和面积分别是矩形$ABCD$的周长和面积的一半.②a,b应满足的条件为$a^{2}-6ab+b^{2}\geqslant 0$.