《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

1. 如图 4-ZT-2,已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 4 $ 经过 $ A(-1,0) $,$ B(4,0) $ 两点,交 y 轴于点 C。
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 BC,求直线 BC 的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上有一点 P,求出使 $ PA + PC $ 的值最小时点 P 的坐标,并求出此时 $ PA + PC $ 的最小值。

答案：
(1)$y=-x^{2}+3x+4$
(2)$y=-x+4$
(3)点 P 的坐标为$\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right)$ $PA+PC$的最小值为$4\sqrt{2}$

2. 如图 4-ZT-4,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 交 x 轴于 $ A(3,0) $,$ B(-1,0) $ 两点,交 y 轴于点 C,动点 P 在抛物线的对称轴上。
(1)求抛物线的解析式；
(2)当以 P,B,C 为顶点的三角形的周长最小时,求点 P 的坐标及 $ \triangle PBC $ 的周长。

答案：
(1)$y=-x^{2}+2x+3$
(2)$P(1,2)$ $\triangle PBC$的周长是$3\sqrt{2}+\sqrt{10}$