《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

1. 如图 5-ZT-2,抛物线经过点 $A(-3,0)$,$B(1,0)$,$C(0,3)$。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 在抛物线所在的平面内,是否存在点 $D$,使得以 $A$,$B$,$C$,$D$ 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在,请直接写出点 $D$ 的坐标；如果不存在,请说明理由。

答案：
(1)$y=-x^{2}-2x+3$
(2)存在 点 D 的坐标为$(-2,-3)$或$(-4,3)$或$(4,3)$

2. 如图 5-ZT-3,抛物线 $y = ax^2 + bx + \frac{3}{4}$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$ 和点 $B$,$D$ 是抛物线的顶点,过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $C(-1,0)$。
(1) 求抛物线所对应的函数解析式；
(2) 点 $M$ 在抛物线上,横坐标为 $m$,连接 $MC$,若 $\angle MCB = \angle DAC$,求 $m$ 的值。

答案：

(1)$y=-\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}x+\frac {3}{4}$
(2)当$x=-1$时,$y=-\frac {1}{4}+\frac {1}{2}+\frac {3}{4}=1,$
$\therefore D(-1,1).$
设直线 AD 的解析式为$y=kx+n.$
将$A(-3,0),D(-1,1)$代入，
得$\left\{\begin{array}{l} -3k+n=0,\\ -k+n=1,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac {1}{2},\\ n=\frac {3}{2},\end{array}\right. $
∴直线 AD 的解析式为$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}.$
如图,①当点 M 在 x 轴上方时,
$\because ∠M_{1}CB=∠DAC,$
$\therefore DA// CM_{1},$
∴设直线$CM_{1}$的解析式为$y=\frac {1}{2}x+b_{1}.$
∵直线$CM_{1}$经过点$C(-1,0),$
$\therefore -\frac {1}{2}+b_{1}=0$,解得$b_{1}=\frac {1}{2},$
∴直线$CM_{1}$的解析式为$y=\frac {1}{2}x+\frac {1}{2}.$
联立$\left\{\begin{array}{l} y=\frac {1}{2}x+\frac {1}{2},\\ y=-\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}x+\frac {3}{4},\end{array}\right. $
解得$x_{1}=-2+\sqrt {5},x_{2}=-2-\sqrt {5}$(不合题意，舍去)，
$\therefore m=-2+\sqrt {5};$

②当点 M 在 x 轴下方时,直线$CM_{2}$与直线$CM_{1}$关于 x 轴对称，
由轴对称的性质可得直线$CM_{2}$的解析式为$y=-\frac {1}{2}x-\frac {1}{2}.$
联立$\left\{\begin{array}{l} y=-\frac {1}{2}x-\frac {1}{2},\\ y=-\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}x+\frac {3}{4},\end{array}\right. $
解得$x_{1}=\sqrt {5},x_{2}=-\sqrt {5}$(不合题意,舍去),
$\therefore m=\sqrt {5}.$
综上所述,m 的值为$-2+\sqrt {5}$或$\sqrt {5}.$