《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

4. 下面是小聪同学用配方法解方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$的过程,请仔细阅读后,解答下面的问题。
解：移项,得$2x^2 + 4x = 1$。①
二次项系数化为 1,得$x^2 + 2x = \frac{1}{2}$。②
配方,得$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2}$,即$(x + 1)^2 = \frac{1}{2}$。③
由此可得$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$,④
$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$,$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。⑤
(1)小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的,错误的原因是配方时等号右边没有加上1；
(2)用这种方法解方程：$2x^2 - 4x - 3 = 0$。
$x_{1}=1+\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$

答案： 4.（1）③ 配方时等号右边没有加上1
（2）$x_{1}=1+\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$

5. 解下列方程：
(1)$2x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2)$2x(x + \sqrt{2}) - 1 = 0$；
(3)$4x^2 - 3x - 5 = x - 2$。

答案： 5.（1）$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$
（2）$x_{1}=\frac{-\sqrt{2}+2}{2}$，$x_{2}=\frac{-\sqrt{2}-2}{2}$
（3）$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$

6. 阅读材料,解答问题。
解方程：$(4x - 1)^2 - 10(4x - 1) + 24 = 0$。
解：把$4x - 1$视为一个整体,设$4x - 1 = y$,
则原方程可化为$y^2 - 10y + 24 = 0$,
解得$y_1 = 6$,$y_2 = 4$。
$\therefore 4x - 1 = 6$,或$4x - 1 = 4$,
$\therefore x_1 = \frac{7}{4}$,$x_2 = \frac{5}{4}$。
以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想。
请利用换元法解下列方程：
(1)$(3x - 5)^2 + 4(3x - 5) + 3 = 0$；
(2)$x^4 - x^2 - 6 = 0$。

答案： 6.（1）$x_{1}=\frac{2}{3}$，$x_{2}=\frac{4}{3}$ （2）$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$