《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

11. 在设计人体雕像时,多采用黄金分割比例增加视觉美感,即雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比. 按此比例,如果雕像高$3$m,设雕像的下部高$x$m,可列方程为$x^{2}=3(3-x)$.

答案： $x^{2}=3(3-x)$

12. (教材习题 21.1T7 变式)关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0的一个根是1$,$a$,$b满足b= \sqrt{a - 2}+\sqrt{2 - a}-1$,则方程$\frac{1}{4}y^{2}+c = 0$的解为$y=2$或$y=-2$.

答案： $y=2$或$y=-2$

13. 根据下列问题列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)[教材习题 21.1T2(2)变式]用一根长$30$cm 的铁丝折成一个斜边长为$13$cm 的直角三角形,求这个直角三角形的直角边长；
(2)手卷是国画装裱中横幅的一种体式,以能握在手中顺序展开阅览得名,它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成(这三部分都是矩形形状),分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”. 如图 21 - 1 - 2 中的手卷长$1000$cm,宽$40$cm. 引首和拖尾完全相同,其宽度都为$100$cm. 设隔水的宽度为$x$cm,若画心的面积为$15200$cm^2,则隔水的宽度为多少厘米？
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答案： 解:
(1)设这个直角三角形其中一条直角边长为$x$cm,则另一条直角边长为$30-13-x=(17-x)$cm.
根据题意,得$x^{2}+(17-x)^{2}=13^{2}$,
化为一般形式为$x^{2}-17x+60=0$.
(2)若隔水的宽度为$x$cm,则画心的长为$1000-2×100-4x=(800-4x)$cm,宽为$(40-2x)$cm.
根据题意,得$(800-4x)(40-2x)=15200$,化为一般形式为$x^{2}-220x+2100=0$.

14. 若$a是方程x^{2}-2024x + 1 = 0$的一个根,求代数式$a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}$的值.

答案： -1

15. 核心素养 抽象能力 如图 21 - 1 - 3,在数轴上,点$A与点C表示的数分别为1和3$,明明同学以点$C为直角顶点作Rt\triangle ABC$,其中$BC = 1$,再以点$A$为圆心,$AB$为半径画弧,交数轴于$D$,$E$两点. 莲莲说：“若点$D$,$E表示的数分别为m和n$,我发现$m是一元二次方程x^{2}+bx - 4 = 0$的一个根.”琮琮说：“$n$一定不是此方程的根.”
(1)写出$m与n$的值；
(2)-2$b$的值为______；
(3)你认为琮琮说得对吗？为什么？
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答案：
(1)$m=1+\sqrt{5},n=1-\sqrt{5}$
(2)-2
(3)琮琮说得不对.理由如下:
把$x=1-\sqrt{5}$代入方程$x^{2}-2x-4=0$,左边$=(1-\sqrt{5})^{2}-2(1-\sqrt{5})-4=1-2\sqrt{5}+5-2+2\sqrt{5}-4=0$,右边=0,
左边=右边,
∴n一定是此方程的根.