《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

3. 如图7-ZT-6,已知正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF= 45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM。
(1)求证：EF= MF；
(2)当AE= 1时,求EF的长。

答案：
(1)证明:
∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM,
∴DM=DE,∠EDM=90°.
∵∠EDF=45°,
∴∠MDF=45°,
∴∠EDF=∠MDF.
在△DEF和△DMF中，
DF=DF,
∠EDF=∠MDF,
DE=DM,
∴△DEF≌△DMF,
∴EF=MF.
(2)$\frac{5}{2}$

4. 观察猜想
(1)如图7-ZT-7①,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,D为BC边上一动点,且不与点B重合,连接AD,将△ABD绕点A逆时针旋转90°,得到△ACE,那么CE,BD之间的位置关系为______,数量关系为______；
数学思考
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,D,E为BC上两点,且∠DAE= 45°。求证：$BD^2+CE^2= DE^2；$
拓展延伸
(3)如图③,在△ABC中,∠BAC= 120°,AB= AC,∠DAE= 60°,若以BD,DE,EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形,当BD= 2时,求DE的长。

答案：

(1)CE⊥BD　CE=BD
(2)证明:如图①,把△ACE绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG，连接DG.

∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=45°.
由旋转的性质可知AG=AE，BG=CE,∠ABG=∠C=45°,∠GAE=90°,
∴∠DAG=∠GAE−∠DAE=45°,
∴∠DAG=∠DAE.
在△ADG和△ADE中，
AG=AE,
∠DAG=∠DAE,
AD=AD,
∴△ADG≌△ADE(SAS),
∴DG=DE.
∵∠GBD=∠ABG+∠ABC=90°,
∴BD²+BG²=DG²,
即BD²+CE²=DE².
(3)如图②，将△AEC绕点A顺时针旋转120°,得到△AFB,连接DF.

由旋转的性质可知AF=AE,∠ABF=∠C,EC=BF,∠FAE=120°.
又
∵∠DAE=60°,
∴∠DAF=∠FAE−∠DAE=60°,
∴∠DAE=∠DAF.
在△ADE和△ADF中，
AD=AD,
∠DAE=∠DAF,
AE=AF,
∴△ADE≌△ADF(SAS),
∴DE=DF.
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=30°,
∴∠ABF=30°,
∴∠FBD=60°.
∵以BD,DE，EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形，
∴以BD，DF，BF为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形，
∴△BDF是直角三角形，且∠BFD=90°,
∴∠BDF=30°,
∴BD=2BF=2,
∴BF=1,
∴DF= $\sqrt{BD²−BF²}$=$\sqrt{3}$,
∴DE=$\sqrt{3}$