《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

10. 已知等腰三角形 $ABC$ 的底边长为 $5$,其腰长恰好是一元二次方程 $x^{2} - 2(m + 1)x + 6m - 2 = 0$ 的两个相等的实数根,则 $m$ 的值是(D)
A.$2$
B.$4$
C.$1$
D.$3$

答案： D

11. 用公式法解下列方程：
(1) $6x^{2} - 11x + 4 = 2x - 2$；
(2) $3x(x - 3) = 2(x - 1)(x + 1)$.

答案：
(1)$x_{1}=\frac {3}{2}$,$x_{2}=\frac {2}{3}$
(2)$x_{1}=\frac {9+\sqrt {73}}{2}$,$x_{2}=\frac {9-\sqrt {73}}{2}$

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2} + bx + 1 = 0$.
(1) 当 $b = a + 2$ 时,判断方程根的情况；
(2) 若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的 $a$,$b$ 的值,并求此时方程的根.

答案：
(1)方程有两个不等的实数根
(2)可取b=2,a=1,则原方程变为$x^{2}+2x-$1=0,解得$x_{1}=x_{2}=-1$(本题答案不唯一)

13. 核心素养 创新意识 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形如 $x^{2} + ax = b^{2}(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 的方程的图解法是：如图 21-2-2,以 $\frac{a}{2}$ 和 $b$ 为两直角边长作 $Rt\triangle ABC$,再在斜边上截取 $BD = \frac{a}{2}$,则 $AD$ 的长就是所求方程的根.
(1) 请用含字母 $a$,$b$ 的式子表示 $AD$ 的长；
(2) 请利用公式法说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处.
]

答案： 解:
(1)由题意可知$∠ACB=90^{\circ }$,$BC=\frac {a}{2}$,$AC=b$,
$\therefore AB=\sqrt {b^{2}+\frac {a^{2}}{4}}$,
$\therefore AD=AB-BD=\sqrt {b^{2}+\frac {a^{2}}{4}}-\frac {a}{2}=\frac {-a+\sqrt {4b^{2}+a^{2}}}{2}$.
(2)用求根公式求得$x_{1}=\frac {-a+\sqrt {4b^{2}+a^{2}}}{2}$,$x_{2}=\frac {-a-\sqrt {4b^{2}+a^{2}}}{2}$,
$\therefore AD$的长就是方程的正根.
遗憾之处:图解法不能表示方程的负根.