《2025年全品学练考九年级数学上册人教版江西专版》

9. (2023德阳)将一副三角尺 $ DOE $ 与 $ AOC $ 叠放在一起,如图23-Y-8①, $ \angle O = 90^{\circ} $, $ \angle A = 30^{\circ} $, $ \angle E = 45^{\circ} $, $ OD ＞ OC $.将三角尺 $ DOE $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ \alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ}) $ 到 $ \triangle D_1OE_1 $ 的位置,使 $ OD_1 // AC $,如图②.
(1)求 $ \alpha $ 的值；
(2)如图③,继续将三角尺 $ DOE $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转,使点 $ E $ 落在 $ AC $ 边上的点 $ E_2 $ 处,点 $ D $ 落在点 $ D_2 $ 处,设 $ E_2D_2 $ 交 $ OD_1 $ 于点 $ G $, $ OE_1 $ 交 $ AC $ 于点 $ H $,若 $ G $ 是 $ E_2D_2 $ 的中点,试判断四边形 $ OHE_2G $ 的形状,并说明理由.

答案：
(1)$\alpha = 30^{\circ}$
(2)四边形$OHE_{2}G$是正方形.理由如下:$\because \angle E_{2}OD_{2}=90^{\circ}$，$OD_{2}=OE_{2}$，G是$E_{2}D_{2}$的中点，$\therefore E_{2}G = OG$，$E_{2}G\perp OG$，$\therefore \angle OGE_{2}=90^{\circ}$.$\because OD_{1}// AC$，$\therefore \angle CE_{2}G=180^{\circ}-\angle OGE_{2}=90^{\circ}$.又$\because \angle HOG = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$OHE_{2}G$是矩形.又$\because E_{2}G = OG$，$\therefore$四边形$OHE_{2}G$是正方形.

10. (2024北京)已知 $ \angle MAN = \alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 45^{\circ}) $,点 $ B $, $ C $ 分别在射线 $ AN $, $ AM $ 上,将线段 $ BC $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 180^{\circ} - 2\alpha $ 得到线段 $ BD $,过点 $ D $ 作 $ AN $ 的垂线交射线 $ AM $ 于点 $ E $.
(1)如图23-Y-9①,当点 $ D $ 在射线 $ AN $ 上时,求证： $ C $ 是 $ AE $ 的中点；
(2)如图②,当点 $ D $ 在 $ \angle MAN $ 内部时,作 $ DF // AN $,交射线 $ AM $ 于点 $ F $,用等式表示线段 $ EF $ 与 $ AC $ 的数量关系,并证明.

答案：
解:
(1)证明:如图①，连接CD. 由题意，得$BC = BD$，$\angle CBD = 180^{\circ}-2\alpha$，$\therefore \angle BDC=\angle BCD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CBD)=\alpha$，$\therefore \angle BDC = \angle A$，$\therefore CA = CD$.$\because DE\perp AN$，$\therefore \angle 1+\angle A=\angle 2+\angle BDC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$，$\therefore CD = CE$，$\therefore CA = CE$，$\therefore$ C是AE的中点.
(2)$EF = 2AC$.证明如下:如图②，在射线AM上取一点H，使得$BH = BA$，取EF的中点G，连接DH，DG. $\because BH = BA$，$\therefore \angle BAH=\angle BHA=\alpha$，$\therefore \angle ABH = 180^{\circ}-2\alpha=\angle CBD$，$\therefore \angle ABC = \angle HBD$.又$\because BC = BD$，$\therefore \triangle ABC\cong\triangle HBD(SAS)$，$\therefore AC = HD$，$\angle BHD = \angle A=\alpha$，$\therefore \angle FHD=\angle BHA+\angle BHD = 2\alpha$.$\because DF// AN$，$\therefore \angle EFD = \angle A=\alpha$，$\angle EDF=\angle 3 = 90^{\circ}$.$\because$ G是EF的中点，$\therefore GF = GD$，$EF = 2GD$，$\therefore \angle GFD=\angle GDF=\alpha$，$\therefore \angle HGD = 2\alpha$，$\therefore \angle HGD=\angle FHD$，$\therefore GD = HD$.$\because AC = HD$，$\therefore GD = AC$，$\therefore EF = 2AC$