《2025年同步导学与优化训练七年级数学上册人教版》

1. 下列方程中,解为$x = 1$的是(C)
A.$2x = x + 3$
B.$1 - 2x = 1$
C.$\frac{x + 1}{2} = 1$
D.$\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 1}{2} = 2$

答案： C

2. 若关于$x的一元一次方程\frac{2x - k}{3} - \frac{x - 3k}{2} = 1的解是x = - 1$,则$k$的值是(B)
A.$\frac{2}{7}$
B.$1$
C.$-\frac{13}{11}$
D.$0$

答案： B 解析:将x=-1代入方程$\frac{2x - k}{3} - \frac{x - 3k}{2} = 1$中,得$\frac{-2 - k}{3} - \frac{-1 - 3k}{2} = 1$.去分母,得$2(-2 - k) - 3(-1 - 3k) = 6$.去括号,得$-4 - 2k + 3 + 9k = 6$.移项,得$-2k + 9k = 6 + 4 - 3$.合并同类项,得$7k = 7$.系数化为1,得$k = 1$.故选B.

3. 当$m = $9时,$\frac{2m - 3}{5}和\frac{2}{3}m - 3$的值相等。

答案： 9 解析:由题意,得$\frac{2m - 3}{5} = \frac{2}{3}m - 3$,解得$m = 9$.

4. 一艘轮船从一码头顺流而下,再逆流而上,计划$8h$回到原来出发的码头。若这艘轮船在静水中的速度是$10km/h$,水流速度是$2km/h$,则这艘轮船最多顺水走38.4$km$,就必须返回。

答案： 38.4 解析:设这艘轮船最多顺水走x km,则$\frac{x}{10 + 2} + \frac{x}{10 - 2} = 8$,解得$x = 38.4$.

5. 小强的练习册上有一道方程题,其中一个数被墨汁涂染,变成了$\frac{1}{3}(-\frac{x - 1}{2} + x) = 3 - \frac{x - \Delta}{3}$,他翻了书后的答案,知道这个方程的解为$x = 5$。请你帮他把被墨汁涂染的数求出来。($\Delta$表示被墨汁涂染的位置)

答案： 解:设被墨汁涂染的数是y.由题意,得$\frac{1}{3}×(-\frac{5 - 1}{2} + 5) = 3 - \frac{5 - y}{3}$.解得$y = -1$.所以被墨汁涂染的数是-1.

6. (传统文化)程大位的名著《算法统宗》里有一道题目：一百馒头一百僧,大和三个更无争,小和三人分一个,大小和尚得几丁。意思是：有$100个和尚分100$个馒头,如果大和尚每人分$3$个馒头,小和尚$3人分1$个馒头,正好分完,问大和尚与小和尚各多少人。设大和尚有$x$人,依题意列方程得(C)
A.$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$
B.$\frac{x}{3} - 3(100 - x) = 100$
C.$3x + \frac{100 - x}{3} = 100$
D.$3x - \frac{100 - x}{3} = 100$

答案： C

7. 现有一列火车从长$1200m$的桥上匀速通过,测得这列火车从上桥到完全过桥共用$50s$,而整列火车完全在桥上的时间是$30s$,求这列火车的车长和速度。

答案： 解:设这列火车的车长为x m.根据题意,得$\frac{1200 + x}{50} = \frac{1200 - x}{30}$.解得$x = 300$.所以$\frac{1200 + 300}{50} = 30(m/s)$.答:这列火车的车长为300 m,速度为30 m/s.

8. 某同学在解关于$x的一元一次方程\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 1$时,去分母过程中,方程右边的$-1漏乘了3$,求得方程的解为$x = - 2$,请你求出$a$的值,并帮助该同学求出原方程正确的解。

答案： 解:因为去分母时方程右边的-1没有乘3，所以去分母后得到的方程是$2x - 1 = x + a - 1$.根据题意,知x=-2是方程$2x - 1 = x + a - 1$的解.将x=-2代入方程$2x - 1 = x + a - 1$,得$-4 - 1 = -2 + a - 1$.解得$a = -2$.所以原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x - 2}{3} - 1$.去分母,得$2x - 1 = x - 2 - 3$.移项,得$2x - x = -2 - 3 + 1$.合并同类项,得$x = -4$.即原方程正确的解为$x = -4$.