《2025年同步导学与优化训练七年级数学上册人教版》

14. 有下列说法：①若$a$,$b$互为相反数,则$a + b = 0$；②若$a$,$b$同号,则$|a + b| = |a| + |b|$；③$-a$一定是负数；④若$ab = 1$,则$a$,$b$互为倒数；⑤若$ab = 0$,则$a = 0$.其中正确的是①②④.(填序号)

答案： ①②④ 解析:若$a$,$b$互为相反数,则$a+b=0$,故①正确;若$a$,$b$同号,则$|a+b|=|a|+|b|$,故②正确;当$a$为非正数时,$-a$是非负数,故③错误;若$ab=1$,则$a$,$b$互为倒数,故④正确;若$ab=0$,则$a=0$或$b=0$,故⑤错误.综上可知,①②④正确.

15. (传统文化)我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是：即使是一尺长的木棍,第一天截取它的一半,以后每天截取剩下部分的一半,那么世世代代也截取不尽.按此做法,第$n$天后“一尺之棰”剩余的长度为$\dfrac{1}{2^{n}}$尺.(用含$n$的式子表示)

答案： $\dfrac{1}{2^{n}}$ 解析:由题意可得,第一天剩下$\dfrac{1}{2}$尺,第二天剩下$\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{2}}$(尺),第三天剩下$\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{3}}$(尺)……则第$n$天后"一尺之棰"剩余的长度为$\dfrac{1}{2^{n}}$尺.

16. 计算：
(1) $(-7)×5 - (-36)÷4$；
(2) $-1^{4} - (1 - 0.4)×\frac{1}{3}×(2 - 3^{2})$.

答案：
(1)$(-7)×5-(-36)÷4=-35-(-9)=-35+9=-26$.
(2)$-1^{4}-(1-0.4)×\dfrac{1}{3}×(2-3^{2})=-1-0.6×\dfrac{1}{3}×(2-9)=-1-0.2×(-7)=-1+1.4=0.4$.

17. 画出数轴并在数轴上表示出下列各数,再将这些数用“$＜$”连接起来.
$-4$,$+1.25$,$-|-2|$,$-(+0.5)$,$-(-3\frac{1}{2})$.

答案：
解:$-\vert-2\vert=-2$,$-(+0.5)=-0.5$,$-(-3\dfrac{1}{2})=3\dfrac{1}{2}$.在数轴上表示各数如图所示.
$-4＜-\vert-2\vert＜-(+0.5)＜+1.25＜-(-3\dfrac{1}{2})$.

18. 人的脚印与身高之间存在一定的关系,如果用$a$表示脚印长度,$b$表示身高,$a与b的关系近似表示为b = 7a - 3.07$.
(1) 某人脚印长度为$24.5\mathrm{cm}$,则他的身高约为多少？(结果精确到$0.1\mathrm{cm}$)
(2) 已知甲的身高为$1.87\mathrm{m}$,乙的身高为$1.75\mathrm{m}$,测量的脚印长度为$26.9\mathrm{cm}$,请你帮助判断一下,此脚印大概是甲、乙哪个人的脚印？

答案：
(1)当$a=24.5\ cm$时,$b=7a-3.07=7×24.5-3.07\approx168.4(cm)$.
(2)当$a=26.9\ cm$时,$b=7a-3.07=7×26.9-3.07=185.23(cm)$,与甲的身高比较接近,所以大概是甲的脚印.