《2025年同步导学与优化训练七年级数学上册人教版》

1. 已知等式 $ a = b $,$ c $ 为任意有理数,则下列等式中,不一定成立的是(D)
A.$ a - c = b - c $
B.$ a + c = b + c $
C.$ -ac = -bc $
D.$ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $

答案： D

2. 下列变形符合等式的性质的是(D)
A.如果 $ 2x - 3 = 7 $,那么 $ 2x = 7 - 3 $
B.如果 $ 3x - 2 = x + 1 $,那么 $ 3x - x = 1 - 2 $
C.如果 $ -2x = 5 $,那么 $ x = 5 + 2 $
D.如果 $ -\frac{1}{5}x = 1 $,那么 $ x = -5 $

答案： D

3. 等式就像平衡的天平,图中的天平和砝码的关系可用哪个选项解释(C)

A.如果 $ a = b $,那么 $ ac = bc $
B.如果 $ a = b $,那么 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c}(c \neq 0) $
C.如果 $ a = b $,那么 $ a + c = b + c $
D.如果 $ a = b $,那么 $ a^2 = b^2 $

答案： C 解析:观察题图可知,在原来平衡的天平两边同时加上一个相同的小砝码,天平两边仍然平衡,所以符合等式的性质1,即在等式a=b的两边都加c,得到a+c=b+c.故选C.

4. 利用等式的性质,用适当的数填空.
(1)若 $ \frac{x}{4} + 1 = 2 $,则 $ x + 4 = $8,$ x = $4；
(2)若 $ 3 - \frac{1}{3}x = 4 $,则 $ -\frac{1}{3}x = $1,$ x = $-3.

答案：
(1)8 4
(2)1 -3 解析:
(1)等式两边乘4,得x+4=8;等式两边减4,得x=4.
(2)等式两边减3,得-$\frac{1}{3}$x=1;等式两边乘-3,得x=-3.

5. 若 $ 2a - 3 = 2b + 1 $,则 $ a $＞$ b $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”).

答案： ＞ 解析:2a-3=2b+1的两边加3,得2a=2b+4.所以a=b+2.所以a＞ b.

6. 将等式 $ 3a - 2b = 2a - 2b $ 变形时,小明写出的变形过程如下：
因为 $ 3a - 2b = 2a - 2b $,
所以 $ 3a = 2a $.(第一步)
所以 $ 3 = 2 $.(第二步)
(1)上述过程中,第一步变形的依据是什么？
(2)小明第二步变形正确吗？如果不正确,请说明原因,并改正.

答案：
(1)等式的性质1.
(2)不正确.原因:等式的两边只有除以同一个不为0的数,得到的等式才能成立.这里小明在不确定a是不是0的情况下,把等式两边除以a而导致出错. 改正:等式两边减2a,得a=0.

7. (新定义题)对于任意有理数 $ a $,$ b $,$ c $,$ d $,规定 $ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc $,如 $ \begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix} = 1×4 - 2×3 $.
若 $ \begin{vmatrix}x&-2\\3&-4\end{vmatrix} = -2 $,试用等式的性质求 $ x $ 的值.

答案： 解:由题意,得-4x-(-2)×3=-2,即-4x+6=-2.等式两边减6,得-4x=-8.等式两边除以-4,得x=2.

8. 已知 $ (3x^2 - 3x)m = 3x^2 - 3x $,$ m \neq 1 $,求 $ 2x^2 - (3x - x^2 - 2) + 1 $ 的值.

答案： 解:由题意,得(3x²-3x)m-(3x²-3x)=0, 即(3x²-3x)(m-1)=0. 因为m≠1, 所以m-1≠0. 所以3x²-3x=0. 所以2x²-(3x-x²-2)+1=2x²-3x+x²+2+1=3x²-3x+3=0+3=3.