《2025年同步导学与优化训练七年级数学上册人教版》

1. 如果一个有理数的偶次幂是非负数,那么这个数是(D)
A.正数
B.负数
C.非负数
D.任何有理数

答案： D 解析:正数与负数的偶次幂都是正数,0的偶次幂是0,所以任何有理数的偶次幂都是非负数.

2. 一根 $1$ m 长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半……以此类推,第六次剪后剩下的绳子的长度为(C)
A.$(\dfrac{1}{2})^{3}$ m
B.$(\dfrac{1}{2})^{5}$ m
C.$(\dfrac{1}{2})^{6}$ m
D.$(\dfrac{1}{2})^{12}$ m

答案： C 解析:第一次剪后剩下的绳子的长度为$\frac{1}{2}\ m$,第二次剪后剩下的绳子的长度为$\left(\frac{1}{2}\right)^2\ m$,第三次剪后剩下的绳子的长度为$\left(\frac{1}{2}\right)^3\ m$……以此类推,第六次剪后剩下的绳子的长度为$\left(\frac{1}{2}\right)^6\ m$.

3. $2^{615}$ 的个位上的数字是(8)
A.2
B.4
C.6
D.8

答案： D 解析:$2^1=2$,$2^2=4$,$2^3=8$,$2^4=16$,$2^5=32$,$2^6=64$,$2^7=128$,$2^8=256$……可以发现个位上的数字按照2,4,8,6的顺序四次一循环.因为$615÷4=153\cdots\cdots3$,所以$2^{615}$的个位上的数字是8.

4. 把数 $-3^{4}$,$(-3)^{2}$,$(-3)^{3}$ 用“$＜$”连接起来是$-3^4＜(-3)^3＜(-3)^2$。

答案： $-3^4＜(-3)^3＜(-3)^2$

5. 按规律填空：$-\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{2}{9}$,$-\dfrac{3}{27}$,$\dfrac{4}{81}$,$-\frac{5}{243}$,$\frac{6}{729}$,…。

答案： $-\frac{5}{243}$ $\frac{6}{729}$ 解析:由前4个数可发现第n个数是$(-1)^n\cdot\frac{n}{3^n}$,所以第5个数是$(-1)^5×\frac{5}{3^5}=-\frac{5}{243}$,第6个数是$(-1)^6×\frac{6}{3^6}=\frac{6}{729}$.

6. 计算：
(1)$-\dfrac{3}{2^{3}}$；
(2)$-\dfrac{(-2)^{4}}{5}$；
(3)$-\dfrac{(-2)^{3}}{(-3)^{2}}$。

答案： 解:
(1)$-\frac{3}{2^3}=-\frac{3}{8}$.
(2)$-\frac{(-2)^4}{5}=-\frac{16}{5}$.
(3)$-\frac{(-2)^3}{(-3)^2}=-\frac{-8}{9}=\frac{8}{9}$.

7. (新定义题)定义一种新的运算：$a\&b = a^{b}$,如 $2\&3 = 2^{3} = 8$,则 $(3\&2)\&2= $81。

答案： 81 解析:因为$a\&b=a^b$,所以$3\&2=3^2=9$,所以$(3\&2)\&2=9^2=81$.

8. (跨学科融合)某种细胞分裂的示意图如图所示,这种细胞每过 $30$ min 便由 $1$ 个分裂成 $2$ 个。根据此规律回答：
(1)这样的 $1$ 个细胞经过四个 $30$ min 后可分裂成多少个细胞？
(2)这样的 $1$ 个细胞经过 $3$ h 后可分裂成多少个细胞？

答案： 解:
(1)经过四个30 min后可分裂成$2^4=16$(个)细胞.
(2)因为$3\ h=180\ min$,$180÷30=6$,所以经过3 h后可分裂成$2^6=64$(个)细胞.

9. (1)通过计算,比较下列各组中的两个数的大小。(在横线上填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
$1^{2}$＜$2^{1}$； $2^{3}$＜$3^{2}$；
$3^{4}$＞$4^{3}$； $4^{5}$＞$5^{4}$；
$5^{6}$＞$6^{5}$； $6^{7}$＞$7^{6}$。
(2)请你对第(1)小题的结果进行归纳,猜想出 $n^{n + 1}$ 和 $(n + 1)^{n}$ 的大小关系。
当$n=1,2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^n$;当n大于或等于3(n为自然数)时,$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3)根据上面归纳猜想的一般结论,试比较两个数的大小：$1019^{1020}$＞$1020^{1019}$。(在横线上填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： 解:
(1)$＜$$＜$$＞$$＞$$＞$$＞$
(2)当$n=1,2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^n$;当n大于或等于3(n为自然数)时,$n^{n+1}＞(n+1)^n$.
(3)$＞$