《2025年同步导学与优化训练七年级数学上册人教版》

22. 一则故事:在某个王国里,有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第1格放2粒米,第2格放4粒米,第3格放8粒米,然后是16粒,32粒……一直到第64格.”国王哈哈大笑.根据故事解决问题:
(1)在第64格中应放多少粒米?(用幂表示)
(2)请探究(1)中的结果的末位数字是多少.(简要写出探究过程)

答案：
(1)因为$2 = 2^1,4 = 2^2,8 = 2^3……$所以在第64格中应放$2^64$粒米.
(2)因为$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32……$所以末位数字每4个一循环,64÷4 = 16,所以$2^64$的末位数字与$2^4$的末位数字相同,是6.

23. 【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法的运算叫除方,如$3 ÷ 3 ÷ 3$,$(-2) ÷ (-2) ÷ (-2) ÷ (-2)$等.类比有理数的乘方,我们把3 ÷ 3 ÷ 3记作$3^③$,读作“3的圈3次方”,(-2) ÷ (-2) ÷ (-2) ÷ (-2)记作$(-2)^④$,读作“负2的圈4次方”.一般地,把记作,读作“$a的圈n$次方”,如

【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$4^③$ = $\frac{1}{4}$,$(-\frac{1}{2})^④$= 4.
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?(此处不用作答)
(2)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
$(-3)^④$= $(-\frac{1}{3})^{2}$;$5^⑥$= $(\frac{1}{5})^{4}$;$(\frac{1}{2})^⑤ $= $2^{3}$.
(3)想一想:将一个非零有理数$a的圈n$次方写成幂的形式是$(\frac{1}{a})^{n-2}$.
(4)比较:$(-9)^⑤$$\gt$$(-3)^⑦$(填“$\gt$”“$\lt$”或“$=$”).
【灵活应用】
(5)算一算:
$12^{2} ÷ (-\frac{1}{3})^④ × (-\frac{1}{2})^⑤- (-\frac{1}{3})^⑥ + 3^{3}.$
原式$=144÷(-3)^{2}×(-2)^{3}-(-3)^{4}+3^{3}=144×\frac{1}{9}×(-8)-81+27=-128-81+27=-182$

答案：

(1)$\frac{1}{4}$;$4$

(2)$(-\frac{1}{3})^{2}$;$(\frac{1}{5})^{4}$;$2^{3}$

(3)$(\frac{1}{a})^{n-2}$

(4)$\gt$

(5)原式$=144÷(-3)^{2}×(-2)^{3}-(-3)^{4}+3^{3}=144×\frac{1}{9}×(-8)-81+27=-128-81+27=-182$