《2025年同步导学与优化训练七年级数学上册人教版》

22. 一辆出租车从 A 地出发,在一条东西走向的街道上往返,向东记为正,向西记为负,每次行驶的记录(单位：$km$,$x$大于 5,且小于 20)如下：
|第一次|第二次|第三次|第四次|
|$x$|$-\frac{3}{5}x$|$x - 4$|$2(5 - x)$|

(1) 写出这辆出租车每次行驶的方向：第一次向东,第二次向西,第三次向______,第四次向______。
(2) 若$x = 15$,则经过连续四次行驶后,这辆出租车在 A 地的什么方向？距离 A 地有多远？
(3) 求这辆出租车四次行驶的总路程(结果用含$x$的式子表示)。

(1) 写出这辆出租车每次行驶的方向：第一次向东,第二次向西,第三次向东,第四次向西。
(2) 若$x = 15$,则经过连续四次行驶后,这辆出租车在 A 地的什么方向？距离 A 地有多远？
解:$x+(-\frac{3}{5}x)+(x-4)+2(5-x)=-\frac{3}{5}x+6$.因为当$x=15$时,$-\frac{3}{5}x+6=-\frac{3}{5}×15+6=-3$,所以经过连续四次行驶后,这辆出租车在A地的西边,距离A地3km.
(3) 求这辆出租车四次行驶的总路程(结果用含$x$的式子表示)。
解:因为$5＜x＜20$,所以$x＞0$,$-\frac{3}{5}x＜0$,$x-4＞0$,$2(5-x)＜0$.所以$|x|+|-\frac{3}{5}x|+|x-4|+|2(5-x)|=x+\frac{3}{5}x+x-4-2(5-x)=\frac{23}{5}x-14$.所以这辆出租车四次行驶的总路程是$(\frac{23}{5}x-14)km$.

答案： 22.
(1)东;西 解析:因为$5＜x＜20$,所以$x-4＞0$,$2(5-x)＜0$.所以第三次向东,第四次向西.
(2)解:$x+(-\frac{3}{5}x)+(x-4)+2(5-x)=-\frac{3}{5}x+6$.因为当$x=15$时,$-\frac{3}{5}x+6=-\frac{3}{5}×15+6=-3$,所以经过连续四次行驶后,这辆出租车在A地的西边,距离A地3km.
(3)解:因为$5＜x＜20$,所以$x＞0$,$-\frac{3}{5}x＜0$,$x-4＞0$,$2(5-x)＜0$.所以$|x|+|-\frac{3}{5}x|+|x-4|+|2(5-x)|=x+\frac{3}{5}x+x-4-2(5-x)=\frac{23}{5}x-14$.所以这辆出租车四次行驶的总路程是$(\frac{23}{5}x-14)km$.

23. (综合与实践)【知识回顾】
学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1的值与x$的取值无关,求$a$的值”,通常的解题方法是把$x$,$y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项。因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为 0,即原式$=(a + 3)x - 6y + 5$,所以$a + 3 = 0$,所以$a = -3$。
(1) 若关于$x的多项式(2x - 3)m + m^{2}-3x的值与x$的取值无关,求$m$的值。
【能力提升】
(2) 如图①所示,有 7 张长为$a$,宽为$b$的小长方形,按照图②的方式不重叠地放在大长方形内,大长方形中有未被覆盖的两部分(图中阴影部分),设右上角阴影部分的面积为$S_{1}$,左下角阴影部分的面积为$S_{2}$,当大长方形的长发生变化时,$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变,求$a与b$的数量关系。

答案： 23.
(1)解:$(2x-3)m+m^{2}-3x=2mx-3m+m^{2}-3x=(2m-3)x-3m+m^{2}$.因为关于$x$的多项式$(2x-3)m+m^{2}-3x$的值与$x$的取值无关,所以$2m-3=0$.所以$m=\frac{3}{2}$.
(2)解:设大长方形的长为$x$,由题图可知,$S_{1}=a(x-3b)=ax-3ab$,$S_{2}=2b(x-2a)=2bx-4ab$,则$S_{1}-S_{2}=ax-3ab-(2bx-4ab)=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ab$.因为当大长方形的长发生变化时,$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变,所以$S_{1}-S_{2}$的值与$x$的取值无关.所以$a-2b=0$.所以$a=2b$.