《2025年同步导学与优化训练七年级数学上册人教版》

19. (1) 当$a = -2$,$b = 1$时,求两个代数式$(a + b)^{2}$,$a^{2} + 2ab + b^{2}$的值.
(2) 当$a = -2$,$b = -3$时,再求以上两个代数式的值.
(3) 你能从上面的计算结果中,发现什么结论？结论：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.

答案：
(1)当$a=-2$,$b=1$时,$(a+b)^{2}=(-2+1)^{2}=1$,$a^{2}+2ab+b^{2}=(-2)^{2}+2×(-2)×1+1^{2}=4-4+1=1$.
(2)当$a=-2$,$b=-3$时,$(a+b)^{2}=(-2-3)^{2}=25$,$a^{2}+2ab+b^{2}=(-2)^{2}+2×(-2)×(-3)+(-3)^{2}=4+12+9=25$.
(3)$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

20. 已知$|a| = 7$,$|b| = 3$.
(1) 若$ab ＞ 0$,求$a + b$的值；
(2) 若$|a + b| = a + b$,求$ab$的值.

答案：
(1)因为$\vert a\vert=7$,$\vert b\vert=3$,所以$a=\pm7$,$b=\pm3$.因为$ab＞0$,所以$a=7$,$b=3$或$a=-7$,$b=-3$.当$a=7$,$b=3$时,$a+b=7+3=10$;当$a=-7$,$b=-3$时,$a+b=-7+(-3)=-10$.所以$a+b$的值为10或$-10$.
(2)因为$\vert a\vert=7$,$\vert b\vert=3$,所以$a=\pm7$,$b=\pm3$.因为$\vert a+b\vert=a+b$,所以$a+b\geq0$.所以$a=7$,$b=\pm3$.所以$ab=7×(-3)=-21$或$ab=7×3=21$.所以$ab$的值为21或$-21$.

21. 如图,在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点$A$,$B$,$C$,其中$AB = 2BC$,设点$A$,$B$,$C所对应的数的和为m$.
(1) 若点$C$为原点,$BC = 1$,则点$A$对应的数为$-3$,点$B$对应的数为$-1$,$m$的值为$-4$.
(2) 若点$B$为原点,$AC = 9$,求$m$的值.
(3) 若原点$O到点C的距离为6$,且$OC = AB$,求$m$的值.

(2)因为点$B$为原点,$AC=9$,$AB=2BC$,所以点$A$对应的数为$-6$,点$C$对应的数为3,所以$m=-6+0+3=-3$.
(3)因为原点$O$到点$C$的距离为6,所以点$C$对应的数为$\pm6$.因为$OC=AB$,所以$AB=6$.因为$AB=2BC$,所以$BC=3$.当点$C$对应的数为6时,点$B$对应的数为3,点$A$对应的数为$-3$,所以$m=-3+3+6=6$.当点$C$对应的数为$-6$时,点$B$对应的数为$-9$,点$A$对应的数为$-15$,所以$m=-15-9-6=-30$.综上所述,$m$的值为6或$-30$.

答案：
(1)$-3$;$-1$;$-4$
(2)因为点$B$为原点,$AC=9$,$AB=2BC$,所以点$A$对应的数为$-6$,点$C$对应的数为3,所以$m=-6+0+3=-3$.
(3)因为原点$O$到点$C$的距离为6,所以点$C$对应的数为$\pm6$.因为$OC=AB$,所以$AB=6$.因为$AB=2BC$,所以$BC=3$.当点$C$对应的数为6时,点$B$对应的数为3,点$A$对应的数为$-3$,所以$m=-3+3+6=6$.当点$C$对应的数为$-6$时,点$B$对应的数为$-9$,点$A$对应的数为$-15$,所以$m=-15-9-6=-30$.综上所述,$m$的值为6或$-30$.

22. (综合与实践)晶晶文具店想购买一种贺卡在元旦时销售,在互联网上搜索了甲、乙两家网店(如图所示),已知两家网店的这种贺卡完全相同,根据图中信息回答下列问题：
(1) 若晶晶文具店想购买$x$张贺卡,当$x\leqslant30$时,在甲网店需要花费$(x+10)$元,在乙网店需要花费$(0.8x+10)$元；当$x ＞ 30$时,在甲网店需要花费$(0.6x+10)$元,在乙网店需要花费$0.8x$元.(提示：以上费用均用含$x$的式子表示,如需付运费,运费只需付一次)
(2) 晶晶文具店打算购买$200$张贺卡,选择哪家网店更省钱？
若购买200张贺卡,在甲网店需要花费$0.6x+10=0.6×200+10=130$(元),在乙网店需要花费$0.8x=0.8×200=160$(元).因为$130＜160$,所以选择甲网店更省钱.

答案：
(1)$(x+10)$;$(0.8x+10)$;$(0.6x+10)$;$0.8x$
(2)若购买200张贺卡,在甲网店需要花费$0.6x+10=0.6×200+10=130$(元),在乙网店需要花费$0.8x=0.8×200=160$(元).因为$130＜160$,所以选择甲网店更省钱.