《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

7. 如图24-2-3-10,点D是以AB为直径的⊙O上一点,过点B作⊙O的切线,交AD的延长线于点C,E是BC的中点,连接DE并延长,与AB的延长线交于点F。
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若OB= BF,EF= 4,求AD的长。

答案：
(1)略
(2)解:连接OD,
∵ OB = BF,
∴ OF = 2OD,
∴ ∠F = 30°。
∵ ∠FBE = 90°,
∴ BE = $\frac{1}{2}$EF = 2,连接BD,
∴ ∠ADB = ∠CDB = 90°,
∵ E 是 BC 的中点,
∴ DE = BE = 2,
∴ DF = 6。
∵ ∠F = 30°,∠ODF = 90°,
∴ ∠FOD = 60°,
∵ OD = OA,
∴ ∠A = ∠ADO = $\frac{1}{2}$∠BOD = 30°,
∴ ∠A = ∠F,
∴ AD = DF = 6。

8. 如图24-2-3-11,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O,分别与AC,BC交于点M,N。
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E,求证：NE⊥AB；
(2)连接MD,求证：MD= NB。

答案：
证明:
(1)如图,连接ON。
∵ CD 为斜边AB上的中线,
∴ CD = AD = DB,
∴ ∠1 = ∠B。
∵ OC = ON,
∴ ∠1 = ∠2,
∴ ∠2 = ∠B,
∴ ON//DB,
∵ NE 为⊙O 的切线,
∴ ON⊥NE,
∴ NE⊥AB。
(2)如图,连接DN,MD。
∵ CD 为⊙O 的直径,
∴ ∠CMD = ∠CND = 90°,而∠MCB = 90°,
∴ 四边形CMDN为矩形,
∴ DM = CN。
∵ DN⊥BC,CD = BD,
∴ CN = BN,
∴ MD = NB。

9. 已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF。
(1)如图24-2-3-12①,若AB为⊙O的直径,要使EF成为⊙O的切线,还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：______或者______；
(2)如图24-2-3-12②,如果AB是不过圆心O的弦,且∠CAE= ∠B,那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断。

答案：

(1)答案不唯一,如①∠BAE = 90°;②∠EAC = ∠ABC。
(2)EF 是⊙O 的切线。证明:如图,作直径AM,连接CM,则 ∠ACM = 90°,∠M = ∠B,
∴ ∠M + ∠CAM = ∠B + ∠CAM = 90°。
∵ ∠CAE = ∠B,
∴ ∠CAE + ∠CAM = 90°,即 AE⊥AM。
∵ AM 是⊙O 的直径,
∴ EF 是⊙O 的切线。