《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

7. 已知 $ CD $ 是 $ \odot O $ 的一条弦,作直径 $ AB $,使 $ AB \perp CD $,垂足为 $ E $,若 $ AB = 10 $,$ CD = 8 $,则 $ BE $ 的长是(C)
A.8
B.2
C.2或8
D.3或7

答案： C

8. (2023陕西中考)陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一。图24-1-2-9②是图①从正面看到的一个“老碗”的形状示意图,$ \overset{\frown}{AB} $ 是 $ \odot O $ 的一部分,$ D $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点,连接 $ OD $,与弦 $ AB $ 交于点 $ C $,连接 $ OA $,$ OB $。已知 $ AB = 24 $ cm,碗深 $ CD = 8 $ cm,则 $ \odot O $ 的半径 $ OA $ 为(A)

A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm

答案： A

9. 如图24-1-2-10,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,弦 $ CD \perp AB $,垂足为 $ E $,连接 $ AD $,过点 $ O $ 作 $ OF \perp AD $,垂足为 $ F $,若 $ CD = 6 $,$ BE = 1 $,求 $ \triangle AOF $ 的面积。

答案：
解:如图,连接OD。
∵CD⊥AB,
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=3。

设⊙O的半径为r,则OE=r - 1,OD=r。
在Rt△ODE中,由勾股定理得(r - 1)²+3²=r²,解得r=5,
∴OE=4,AE=5+4=9,
∴S△AED=$\frac{1}{2}$AE·DE=$\frac{1}{2}$×9×3=$\frac{27}{2}$,S△OED=$\frac{1}{2}$OE·DE=$\frac{1}{2}$×4×3=6,
∴S△AOD=S△AED - S△OED=$\frac{27}{2}$ - 6=$\frac{15}{2}$。
∵OF⊥AD,OA=OD,
∴AF=DF,
∴S△AOF=$\frac{1}{2}$S△AOD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{2}$=$\frac{15}{4}$。

10. 如图24-1-2-11①,已知点 $ O $ 是 $ \angle EPF $ 的平分线上的一点,以点 $ O $ 为圆心的圆与角两边分别交于 $ A $,$ B $ 和 $ C $,$ D $ 四点。
(1)求证：$ AB = CD $；
(2)若角的顶点 $ P $ 在圆上,如图24-1-2-11②,其他条件不变,结论成立吗？请说明理由。

答案：

(1)证明:如图①,过点O作OG⊥AB,垂足为G,OH⊥CD,垂足为H,连接OA,OC,OB,OD。易知AG=BG,CH=DH。
∵∠EPO=∠FPO,
∴OG=OH。
在Rt△OBG和Rt△ODH中,由HL得Rt△OBG≌Rt△ODH,
∴GB=HD,
∴AB=CD。
　　
(2)解:成立。理由如下:如图②,点P在圆上,此时点P,A,C重合于点A,过点O作OG⊥AB,垂足为G,OH⊥AD,垂足为H,
∴AG=GB,AH=HD。
∵∠EAO=∠DAO,
∴OG=OH。
在Rt△OAG和Rt△OAH中,由HL得Rt△OAG≌Rt△OAH,
∴AG=AH,
∴AB=AD,即AB=CD。