《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

1. 已知下面三个关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$,$bx^{2}+cx + a = 0$,$cx^{2}+ax + b = 0$恰好有一个相同的实数根 $a$,则 $a + b + c$的值为(A)
A.0
B.1
C.3
D.不确定

答案： A

2. 已知关于 x 的方程 $(m - 2)x^{m^{2}}+(m - 3)x + 1 = 0$。当 m 为何值时,它是一元二次方程？

答案： $ m = \pm \sqrt{2} $

3. 解关于 x 的方程：$(a + 1)x^{2}-6ax + 9(a - 1)= 0$。

答案： $ x_1 = 3, x_2 = \frac{3a - 3}{a + 1} $

4. 阅读下列材料：“$a^{2}\geq0$”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式。例如：$x^{2}+4x + 5 = x^{2}+4x + 4 + 1= (x + 2)^{2}+1$,$\because(x + 2)^{2}\geq0$,$\therefore(x + 2)^{2}+1\geq1$,$\therefore x^{2}+4x + 5\geq1$。试利用“配方法”解决下列问题：
(1) 填空：$x^{2}-4x + 5= (x$-2$)^{2}+$1；
(2) 比较代数式 $x^{2}-1$与 $2x - 3$的大小；
(3) 若 $a$,$b$,$c$是 $\triangle ABC$的三边长,满足 $a^{2}+b^{2}= 10a + 8b - 41$,$c$是 $\triangle ABC$中的最长边,且 $c$为整数,那么 $c$可能是哪几个数？
(2)$ x^2 - 1 - (2x - 3) = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 $,
∵$ (x - 1)^2 \geq 0 $,
∴$ (x - 1)^2 + 1 ＞ 0 $,
∴$ x^2 - 1 ＞ 2x - 3 $。
(3)由题意可得,$ a^2 - 10a + 25 + b^2 - 8b + 16 = 0 $,即$ (a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0 $,
∴$ a - 5 = 0, b - 4 = 0 $,
∴$ a = 5, b = 4 $,
∴$ 1 ＜ c ＜ 9 $。
∵c 是△ABC 中的最长边,且 c 为整数,
∴$ 5 ＜ c ＜ 9 $,
∴c 可能是 6,7,8。

答案： 解:
(1) -2 1
(2)$ x^2 - 1 - (2x - 3) = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 $,
∵$ (x - 1)^2 \geq 0 $,
∴$ (x - 1)^2 + 1 ＞ 0 $,
∴$ x^2 - 1 ＞ 2x - 3 $。
(3)由题意可得,$ a^2 - 10a + 25 + b^2 - 8b + 16 = 0 $,即$ (a - 5)^2 + (b - 4)^2 = 0 $,
∴$ a - 5 = 0, b - 4 = 0 $,
∴$ a = 5, b = 4 $,
∴$ 1 ＜ c ＜ 9 $。
∵c 是△ABC 中的最长边,且 c 为整数,
∴$ 5 ＜ c ＜ 9 $,
∴c 可能是 6,7,8。

5. 关于 x 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$,给出下列说法：①若 $a + c = 0$,则方程必有两个实数根；②若 $a + b + c = 0$,则方程必有两个实数根；③若 $b = 2a + 3c$,则方程有两个不相等的实数根；④若 $b^{2}-5ac\lt0$,则方程一定没有实数根。其中说法正确的序号是(A)
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： A