《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

8. 在平面直角坐标系中,点 $ A $ 关于 $ y $ 轴对称的点为点 $ B $,点 $ A $ 关于原点 $ O $ 对称的点为点 $ C $。

(1) 若 $ A $ 点的坐标为 $ (1,2) $,画出 $ \triangle ABC $,设 $ AB $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ D $,则 $ \frac{S_{\triangle ADO}}{S_{\triangle ABC}} = $$\frac{1}{4}$；
(2) 若点 $ A $ 的坐标为 $ (a,b)(ab \neq 0) $,则 $ \triangle ABC $ 的形状为直角三角形。

答案：
(1)画图略，$\frac{1}{4}$　
(2)直角三角形

9. 如果将点 $ P $ 绕定点 $ M $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 后与点 $ Q $ 重合,那么称点 $ P $ 与点 $ Q $ 关于点 $ M $ 对称,定点 $ M $ 叫作对称中心,点 $ M $ 是线段 $ PQ $ 的中点。如图23-2-3-6,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABO $ 的顶点 $ A $,$ B $,$ O $ 的坐标分别为 $ (1,0) $,$ (0,1) $,$ (0,0) $。点 $ P_{1} $,$ P_{2} $,$ P_{3} $,…中的相邻两点都关于 $ \triangle ABO $ 的一个顶点对称：点 $ P_{1} $ 与点 $ P_{2} $ 关于点 $ A $ 对称,点 $ P_{2} $ 与点 $ P_{3} $ 关于点 $ B $ 对称,点 $ P_{3} $ 与点 $ P_{4} $ 关于点 $ O $ 对称,点 $ P_{4} $ 与点 $ P_{5} $ 关于点 $ A $ 对称,点 $ P_{5} $ 与点 $ P_{6} $ 关于点 $ B $ 对称,点 $ P_{6} $ 与点 $ P_{7} $ 关于点 $ O $ 对称,……对称中心分别是 $ A $,$ B $,$ O $,$ A $,$ B $,$ O $,…且这些对称中心依次循环。已知点 $ P_{1} $ 的坐标是 $ (1,1) $,试写出点 $ P_{2} $,$ P_{7} $,$ P_{100} $ 的坐标。

答案： 解:作P₁关于A点的对称点,即可得到P₂(1,-1),分析题意,知6个点为一个循环,故P₇的坐标与P₁的坐标一样,P₁₀₀的坐标与P₄的坐标一样,所以P₇的坐标等同于P₁的坐标为(1,1),P₁₀₀的坐标等同于P₄的坐标为(1,-3)。

10. 如图23-2-3-7,在平面直角坐标系中,已知点 $ P(-2,-1) $,点 $ T(t,0) $ 是 $ x $ 轴上的一个动点。
(1) 求点 $ P $ 关于原点的对称点 $ P' $ 的坐标；
(2) 当 $ t $ 取何值时,$ \triangle P'TO $ 是等腰三角形？

答案：
(1)点P'的坐标为(2,1)。
(2)①动点T在原点左侧,当T₁O=P'O=$\sqrt{5}$时,△P'T₁O是等腰三角形,
∴点T₁(-$\sqrt{5}$,0)。②动点T在原点右侧,当T₂O=T₂P'时,△P'T₂O是等腰三角形,
∴点T₂($\frac{5}{4}$,0);当T₃O=P'O时,△P'T₃O是等腰三角形,
∴点T₃($\sqrt{5}$,0);当T₄P'=P'O时,△P'T₄O是等腰三角形,
∴点T₄(4,0)。综上所述,符合条件的t的值为-$\sqrt{5}$,$\frac{5}{4}$,$\sqrt{5}$,4。