《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

6. 关于 x 的一元二次方程 $x^{2}+mx + n = 0$。
(1) 若方程有两个相等的实数根,用含 $m$的代数式表示 $n$；
(2) 若方程有两个不相等的实数根,且 $m = - 4$。
①求 $n$的取值范围；
②写出一个满足条件的 $n$的值,并求此时方程的根。

答案： $(1)$ 用含$m$的代数式表示$n$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+mx + n = 0$中，$a = 1$，$b = m$，$c = n$。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$，即$m^{2}-4n=0$。
解这个等式得$n=\frac{m^{2}}{4}$。
$(2)$
① 求$n$的取值范围
已知$m=-4$，则原方程为$x^{2}-4x + n = 0$，此时$a = 1$，$b=-4$，$c = n$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$。
$\Delta=(-4)^{2}-4n＞0$，即$16 - 4n＞0$。
移项可得$4n＜16$，两边同时除以$4$，解得$n ＜ 4$。
② 求满足条件的$n$的值及方程的根
取$n = 0$（$n$只要满足$n ＜ 4$即可），此时方程为$x^{2}-4x=0$。
提取公因式$x$得$x(x - 4)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x - 4=0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=4$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{n=\frac{m^{2}}{4}}$；$(2)$①$\boldsymbol{n ＜ 4}$；②当$n = 0$时，$\boldsymbol{x_{1}=0}$，$\boldsymbol{x_{2}=4}$（$n$取值不唯一）。

7. 如果 $m$,$n$是一元二次方程 $x^{2}+x = 4$的两个实数根,那么多项式 $2n^{2}-mn - 2m$的值是(B)
A.16
B.14
C.10
D.6

答案： B

8. 设 $x_{1}$,$x_{2}$是关于 x 的一元二次方程 $x^{2}+2ax + a^{2}+4a - 2 = 0$的两个实数根,当 $a$为何值时,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$有最小值？最小值是多少？

答案： 解:
∵方程有两个实数根,
∴$ \Delta = (2a)^2 - 4(a^2 + 4a - 2) \geq 0 $,
∴$ a \leq \frac{1}{2} $。
又
∵$ x_1 + x_2 = -2a, x_1x_2 = a^2 + 4a - 2 $,
∴$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2(a - 2)^2 - 4 $。
∵$ a \leq \frac{1}{2} $,且$ 2(a - 2)^2 \geq 0 $,
∴当$ a = \frac{1}{2} $时,$ x_1^2 + x_2^2 $的值最小,此时$ x_1^2 + x_2^2 = 2\left( \frac{1}{2} - 2 \right)^2 - 4 = \frac{1}{2} $,即最小值为$ \frac{1}{2} $。

9. (2024 西藏中考)某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召,开展了家电惠民补贴活动。四月份投入资金 20 万元,六月份投入资金 24.2 万元,现假定每月投入资金的增长率相同。
(1) 求该商场投入资金的月平均增长率；
(2) 按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？

答案： 解:
(1)设商场投入资金的月平均增长率为 x,
依题意,得$ 20(1 + x)^2 = 24.2 $,
解得$ x_1 = 0.1 = 10\% $,$ x_2 = -2.1 $(不合题意,舍去)。
答:商场投入资金的月平均增长率为 10%。
(2)由题意,得$ 24.2 × (1 + 10\%) = 26.62 $(万元)。
答:预计该商场七月份投入资金将达到 26.62 万元。