《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】如图24-3-1,$\triangle ABC是\odot O$的内接等腰三角形,顶角$\angle BAC = 36^{\circ}$,弦$BD$,$CE分别平分\angle ABC$,$\angle ACB$。求证：五边形$AEBCD$是正五边形。

解题关键 利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等证明点$A$,$E$,$B$,$C$,$D是\odot O$的五等分点。

答案： 证明:
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB,又
∵ ∠BAC=36°,
∴ ∠ABC=∠ACB =72°。又
∵ BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,
∴ ∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°,
∴ $\widehat{BC}=\widehat{CD}=\widehat{DA}=\widehat{AE}=\widehat{BE}$,
∴ BC=CD=AD=AE=BE,$\widehat{BCA}=\widehat{CDE}=\widehat{DAB}=\widehat{AEC}=\widehat{EBD}=3\widehat{BC}$。
∴ ∠AEB=∠EBC=∠BCD=∠CDA =∠DAE。
∴ 五边形 AEBCD 是正五边形。

【例2】如图24-3-2,正八边形$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8内接于半径为R的\odot O$。
(1)求$A_1A_3$的长；
(2)求四边形$A_1A_2A_3O$的面积；
(3)求此正八边形的面积。

解题关键
由正多边形中心角求出$\angle A_3OA_1 = 90^{\circ}\Rightarrow由勾股定理求出A_3A_1$
$OA_2\perp A_1A_3\Rightarrow四边形A_1A_2A_3O$的面积

答案： 解:
(1)
∵ 正八边形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}A_{8}$内接于半径为 R 的⊙O,
∴ ∠$A_{3}OA_{2}$=∠$A_{2}OA_{1}$=$\frac{360°}{8}$=45°,
∴ ∠$A_{3}OA_{1}$=90°。
∵ $OA_{3}=OA_{1}=R$,
∴ $A_{3}A_{1}=\sqrt{OA_{3}^{2}+OA_{1}^{2}}=\sqrt{2R^{2}}=\sqrt{2}R$。
(2)
∵ $OA_{1}=OA_{3}$,∠$A_{3}OA_{2}$=∠$A_{2}OA_{1}$=45°,$\widehat{A_{3}A_{2}}=\widehat{A_{2}A_{1}}$,
∴ $OA_{2}⊥A_{1}A_{3}$,
∴ 四边形$A_{1}A_{2}A_{3}O$的面积为$\frac{1}{2}OA_{2}\cdot A_{1}A_{3}=\frac{1}{2}R\cdot \sqrt{2}R=\frac{\sqrt{2}}{2}R^{2}$。
(3)
∵ 四边形$A_{1}A_{2}A_{3}O$的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}R^{2}$,∠$A_{3}OA_{1}$=90°,
∴ 正八边形的面积为$\frac{360°}{90°}×\frac{\sqrt{2}}{2}R^{2}=2\sqrt{2}R^{2}$。