《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

7. 如图24-4-2-8,正方形$ABCD$的边长为4,以点$A$为圆心,$AD$为半径,画圆弧$DE得到扇形DAE$(阴影部分,点$E在对角线AC$上)。若扇形$DAE$正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是(D)

A.$\sqrt{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： D

8. 如图24-4-2-9,在$\odot O$中,$AB = 4$,$AC是\odot O$的直径,$AC\perp BD$,垂足为点$F$,$\angle A = 30^{\circ}$。
(1)求$\odot O$的半径；
(2)若用扇形$OBD$(阴影部分)围成一个圆锥的侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径。

答案： 1. （1）
解：
因为$AC\perp BD$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 4$。
在$Rt\triangle ABF$中，$\cos A=\frac{AF}{AB}$，则$AF = AB\cos A$。
把$AB = 4$，$\cos A=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入可得$AF = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA = r$，$OF=AF - OA=2\sqrt{3}-r$。
因为$AC$是直径，$AC\perp BD$，根据垂径定理可知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，所以$\angle BOF = 2\angle A=60^{\circ}$。
在$Rt\triangle BOF$中，$\cos\angle BOF=\frac{OF}{OB}$，又$OB = r$，$OF = 2\sqrt{3}-r$，则$\cos60^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}-r}{r}$。
即$\frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{3}-r}{r}$，$r = 4\sqrt{3}-2r$，$3r = 4\sqrt{3}$，解得$r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
2. （2）
解：
由（1）知$\angle BOD = 120^{\circ}$，$OB=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（$n$是圆心角，$R$是半径），扇形$OBD$的弧长$l=\frac{120\pi×\frac{4\sqrt{3}}{3}}{180}=\frac{8\sqrt{3}\pi}{9}$。
设圆锥底面圆半径为$R$，根据圆的周长公式$C = 2\pi R$，因为圆锥底面圆周长等于扇形弧长，所以$2\pi R=\frac{8\sqrt{3}\pi}{9}$。
解得$R=\frac{4\sqrt{3}}{9}$。
综上，（1）$\odot O$的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；（2）圆锥底面圆半径为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$。

9. 已知扇形的圆心角为$120^{\circ}$,面积为$300\pi$ cm$^{2}$。
(1)求扇形的弧长；
(2)若将此扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面(轴截面是指以底面圆的直径为底,圆锥的高为高的三角形)的面积为多少？

答案： 解:
(1)设扇形的半径为R，由题意，得300π=120πR²/360，解得R=30，
∴弧长l=120×π×30/180=20π(cm)。
(2)如图，
∵20π=2πr，
∴r=10。
∵R=30，
∴AD=√(900-100)=20√2(cm)，
∴S轴截面=1/2BC·AD=1/2×20×20√2=200√2(cm²)。

10. 如图24-4-2-10,纸片$ABCD$是一个菱形,其边长为2,$\angle BAD = 120^{\circ}$。以点$A为圆心的扇形与边BC相切于点E$,与$AB$,$AD分别相交于点F$,$G$。
(1)请判断所作的扇形与边$CD$的位置关系,并说明理由；
(2)若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥,求该圆锥的全面积。

答案： 解:
(1)相切。理由如下:连接AE，AC，过点A作AH⊥CD，垂足为H。
∵CB与⊙A相切，
∴AE⊥BC。
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD。
∴AE=AH，
∴扇形与边CD相切。
(2)
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴△ABC是等边三角形，又其边长为2，
∴AE=√3。
∴$\widehat{FG}$的长为120×π×√3/180=2√3/3π，则圆锥的侧面积为1/2×2√3/3π×√3=π。设圆锥的底面半径为r，则2πr=2√3/3π，解得r=√3/3。则圆锥的底面积为π×(√3/3)²=π/3。故该圆锥的全面积为π+π/3=4/3π。