《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

6. 如图,在四边形ABCD中,$AB= AD$,$\angle B= \angle D= 90^{\circ}$,E,F分别是边BC,CD上的点,且$\angle EAF= \frac{1}{2}\angle BAD$。求证：$EF= BE+FD$。

答案：
证明:如图,延长EB到G,使BG=DF,连接AG。
∵在△ABG与△ADF中,AB=AD,∠ABG =∠ADF=90°,BG=DF,
∴△ABG≌△ADF(SAS)。
∴AG=AF,∠1=∠3。
∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠EAF=1/2∠BAD。
∴∠GAE=∠EAF。
又AE=AE,故△AEG≌△AEF(SAS)。
∴EG=EF。
∵EG=BE+BG,
∴EF=BE+FD。

7. 如图,正方形的边长为4,点P为正方形内任意一点,连接PA,PB,PD,则$PA+PB+PD$的最小值为2√2+2√6。

答案： 2√2+2√6

8. (1)发现：如图①,点A为线段BC外一动点,且$BC= a$,$AB= b$。当点A位于____时,线段AC的长取得最大值,且最大值为____(用含a,b的式子表示)。
(2)拓展：如图②,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(2,0)$,点B的坐标为$(6,0)$,点P为线段AB外一动点,且$PA= 2$,$PM= PB$,$\angle BPM= 90^{\circ}$,请直接写出线段AM的长的最大值及此时点P的坐标。

答案：

(1)CB的延长线上　a+b
(2)如图①,
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°后得到△PBN,连接AN,
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2,BN=AM。
∵点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),
∴OA=2,OB=6,
∴AB=4,
∴线段AM的长的最大值等于线段BN的长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB+AN。
∵AN=√2AP=2√2,
∴AM的最大值为2√2+4。

如图②,过P作PE⊥x轴,垂足为点E。
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=√2,
∴OE=OB-AB-AE=6-4-√2=2-√2,
∴P(2-√2,√2)。

如图③,根据对称性可知当点P在第四象限,P(2-√2,-√2)时,也满足条件。
综上所述，满足条件的点P的坐标为(2-√2,√2)或(2-√2,-√2),AM的最大值为2√2+4。