《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图22-3-2-1①),拱高为6m,跨度为20m,相邻两支柱间的距离均为5m。

(1)将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图22-3-2-1②),求抛物线的解析式；
(2)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明理由。
解题关键 设出抛物线的解析式,将A,B,C三点的坐标代入,借助二次函数的有关知识解决问题。

答案：
解:
(1)根据题目条件，点A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6)。将B,C的坐标代入y=ax²+c,得{6=c,0=100a+c。解得a=-$\frac{3}{50}$,c=6。所以抛物线的解析式是y=-$\frac{3}{50}$x²+6。
(2)设DE是隔离带的宽,EG是三辆车的宽度和,则G点的坐标是(7,0)。如图,过G点作GH垂直AB交抛物线于点H,则y=-$\frac{3}{50}$×7²+6=3.06＞3。根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车。

【例2】如图22-3-2-2,二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象交x轴于点$A(-3,0)$,$B(1,0)$,交y轴于点C。点$P(m,0)$是x轴上的一动点,$PM \perp x$轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N。

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P仅在线段AO上运动,如图22-3-2-2,求线段MN的最大值。
解题关键 (1)把$A(-3,0)$,$B(1,0)代入y = x^2 + bx + c$中,构建方程组解决问题；(2)构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题。

答案： 解:
(1)y=x²+2x-3
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b',把A(-3,0),C(0,-3)代入y=kx+b',得{b'=-3,-3k+b'=0,解得{k=-1,b'=-3,
∴y=-x-3。
∵点P(m,0)是x轴上的一动点,且PM⊥x轴,
∴M(m,-m-3),N(m,m²+2m-3),
∴MN=(-m-3)-(m²+2m-3)=-m²-3m=-(m+$\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{4}$,
∵a=-1＜0,
∴此函数有最大值。
又
∵点P在线段OA上运动,且-3＜-$\frac{3}{2}$＜0,
∴当m=-$\frac{3}{2}$时,MN有最大值$\frac{9}{4}$。