《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程$ (x + 3)(x - 7)= 0 $的根是(C)
A.$ x_{1}= 3 $,$ x_{2}= -7 $
B.$ x_{1}= 3 $,$ x_{2}= 7 $
C.$ x_{1}= -3 $,$ x_{2}= 7 $
D.$ x_{1}= -3 $,$ x_{2}= -7 $

答案： C

2. 解方程$ 4(2x + 5)^{2}= 5(5 + 2x) $最合适的方法是(D)
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

答案： D

3. 若$ x^{2}-mx - 15= (x + 3)(x + n) $,则$ n^{m} $的值为25。

答案： 25

4. 用合适的方法解下列方程：
(1) $ x^{2}-8x = 6 $；(2) $ (2x - 3)^{2}= 5(2x - 3) $。

答案：
(1)$x_{1}=\sqrt {22}+4,x_{2}=-\sqrt {22}+4$；
(2)$x_{1}=\frac {3}{2},x_{2}=4$

5. 已知关于$ x 的方程 x^{2}-6x + m^{2}-3m - 5 = 0 的一个根为 -1 $,求另一个根及$ m $的值。

答案： $m_{1}=1,m_{2}=2$,另一个根为7。

6. 如图21 - 2 - 4 - 1,若菱形$ ABCD $的一条对角线长为8,边$ CD 的长是方程 x^{2}-10x + 24 = 0 $的一个根,则菱形$ ABCD $的周长为(B)

A.16
B.24
C.16或24
D.48

答案： B

7. 已知关于$ x 的一元二次方程 x^{2}+mx + 2n = 0 $,其中$ m $,$ n $是常数。
(1) 若$ m = 4 $,$ n = 2 $,请求出方程的根；
(2) 若$ m = n + 3 $,试判断该一元二次方程的根的情况。

答案：
(1)$x_{1}=x_{2}=-2$；
(2)$\because m=n+3$,方程为$x^{2}+mx+2n=0,$$\therefore x^{2}+(n+3)x+2n=0,$$\Delta =(n+3)^{2}-4×1×2n=n^{2}-2n+9=(n-1)^{2}+8,$
∵不论n为何值,$(n-1)^{2}+8＞0,$$\therefore \Delta ＞0,$
∴当$m=n+3$时,该一元二次方程有两个不相等的实数根。

8. 阅读材料：为解方程$ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0 $,我们将$ x^{2}-1 $看作一个整体,设$ x^{2}-1 = y $,① 原方程可化为$ y^{2}-5y + 4 = 0 $,解得$ y_{1}= 1 $,$ y_{2}= 4 $。
当$ y = 1 $时,$ x^{2}-1 = 1 $,$ \therefore x^{2}= 2 $,$ \therefore x= \pm\sqrt{2} $；
当$ y = 4 $时,$ x^{2}-1 = 4 $,$ \therefore x^{2}= 5 $,$ \therefore x= \pm\sqrt{5} $。
故原方程的解为$ x_{1}= \sqrt{2} $,$ x_{2}= -\sqrt{2} $,$ x_{3}= \sqrt{5} $,$ x_{4}= -\sqrt{5} $。
解答问题：
(1) 上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想；
(2) 若题中的方程换为$ (x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12 = 0 $,请利用换元法求出它的解。
设$y=x^{2}-x$,原方程变为$y^{2}-4y-12=0$。解这个方程,得$y_{1}=6,y_{2}=-2$。当$y=6$时,$x^{2}-x=6$,即$x^{2}-x-6=0,$解得$x_{1}=3,x_{2}=-2;$当$y=-2$时,$x^{2}-x=-2$,即$x^{2}-x+2=0$,由于$\Delta ＜0$,这个方程无实数根。所以原方程有两个实数根$x_{1}=3,x_{2}=-2$。

答案：
(1)换元；
(2)设$y=x^{2}-x$,原方程变为$y^{2}-4y-12=0$。解这个方程,得$y_{1}=6,y_{2}=-2$。当$y=6$时,$x^{2}-x=6$,即$x^{2}-x-6=0,$解得$x_{1}=3,x_{2}=-2;$当$y=-2$时,$x^{2}-x=-2$,即$x^{2}-x+2=0$,由于$\Delta ＜0$,这个方程无实数根。所以原方程有两个实数根$x_{1}=3,x_{2}=-2$。