《2025年绩优学案九年级数学上册人教版》

【例1】在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3cm$,$BC = 4cm$,以点$C$为圆心画圆,当半径$r$为下列值时,$\odot C与直线AB$有怎样的位置关系？为什么？
(1)$r = 2cm$；(2)$r = 2.4cm$；(3)$r = 3cm$。
解题关键 圆的半径已知,判断圆与直线的位置关系的关键在于求出圆心到直线的距离。

答案：
解:如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D,在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{3²+4²}$=5(cm)。
　　　　　　　　　　　　 根据三角形的面积公式有
　$\frac{1}{2}$CD·AB=$\frac{1}{2}$AC·BC,
∴CD=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}$=2.4(cm)。
(1)当r=2cm时,有d＞r,
∴⊙C与AB相离。
(2)当r=2.4cm时,有d=r,
∴⊙C与AB相切。
(3)当r=3cm时,有d＜r,
∴⊙C与AB相交。

【例2】如图24 - 2 - 2 - 1,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,若$AO = x$,$\odot O$的半径为1,请问：当$x$在什么范围内取值时,$AC与\odot O$相交、相切、相离？

解题关键
$\boxed{作OD\perp AC,垂足为D}\rightarrow\boxed{计算OD的长}\rightarrow\boxed{比较OD与r的大小关系}\rightarrow\boxed{得出结论}$

答案：
解:如图,作OD⊥AC,垂足为D。
∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°,
　　　　　　　　　　　
∵AO=x,
∴OD=$\frac{1}{2}$x。
(1)若⊙O与AC相离,则有OD＞r,即$\frac{1}{2}$x ＞1,解得x＞2。
(2)若⊙O与AC相切,则有OD=r,即$\frac{1}{2}$x =1,解得x=2。
(3)若⊙O与AC相交,则有OD＜r,即$\frac{1}{2}$x ＜1,解得0＜x＜2。
综上可知,当x＞2时,AC与⊙O相离;当x =2时,AC与⊙O相切;当0＜x＜2时,AC 与⊙O相交。